Question

ひきわり

回転体の表面積についてです。
解答の積分範囲が0からπ/2までになっていることが理解できません。
0からπまでを2倍するなら納得できるのですが...
なぜπではなくπ/2になっているのか、解説お願いします🤲

1 類題4-5
解答は p. 216
次の曲線をx軸のまわりに回転してできる立体の表面積を求めよ。
x2
(1)
62
b² = 1 (a>b>0)
(2)
x=acost
y=asin't
(a 0, 0≤t≤2π)

(2)
√x = acos³ t
ly=a sin³ t
より,
dx
dy
=
-3a cos² t sint,
=3a sin²t cost
dt
dt
2
2
dx
dy
+
=√√9a² sin² t cos² t
dt
dt
=3a sint cost
よって、 求める表面積は,
S-2227 a sin³t 3a sin t cos tdt
2
= 12лa² f² sin' t• cos tdt
0
= 12ла²
[
2
12
sin5 t
5
5
0

数学

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

哲治

それアステロイド曲線なんです。
だから上半面の右半分(0-π/2)を２倍してるんです。

ひきわり

私のイメージなのですが、、
確かにアステロイド曲線だけを考えると、ご指摘いただいた部分も理解できるのですが、2枚目の写真のようにサイクロイド曲線のときは図に関係なく0から2πとしていることが納得できないです。
よろしくお願いします🙇

哲治

サイクロイドの図面が間違ってる。θは0-2πですよ！

ひきわり

赤の図形が180度であることに注目するのではなく、円が一回転するという意味で、0から2πでしょうか？

哲治

そうですよ

ひきわり

わかりました！ありがとうございます