Mathematics
大學
已解決

極限についてです。
写真の問題をロピタルの定理以外で解く方法を教えてください。
よろしくお願いします🙇

lim tanx-sink. 入 3
数学

解答

✨ 最佳解答 ✨

先ほどの問題ですかね。
limは省略してかきます。

(tanx-sinx)/x³
={(sinx/cosx)-sinx}/x³
=(sinx-sinxcosx)/(x³・cosx)
={sinx(1-cosx)}/(x³・cosx)
=(sinx/x)・(1-cosx)/(x²・cosx)

右側の分数の上下に(1+cosx)をかけます
=(sinx/x)・(1-cosx)(1+cosx)/(x²・cosx(1+cosx))
=(sinx/x)・(sin²x)/(x²・cosx(1+cosx))
=(sinx/x)・(sinx/x)²・(1/{cosx(1+cosx)}

ここで、
lim[x→0]sinx/x=1
lim[x→0]cosx=1 から極限を取ると、
=1・1²・1/2
=1/2

ひきわり

すごいっ、、(°▽°)
スッキリしました!

あと少しアドバイスが欲しいです💦
①私は極限の不定形が出たときに、すぐにロピタルの定理を使おうとしますが、ロピタルの定理は検算で用いる程度がいいと指摘されたことがあります。今回のような解法をとろうと思った根拠は何ですか?

②三角関数の場合はどんなときも最後の性質を使えるように持ち込むのが主流ですか?
この2点、お願いします🤲

きらうる

ロピタルの定理は知ってはいますが、大学レベルの数学をほとんど習っていないので、どういうときに使うか使えないかはヨビノリさんのyoutubeが参考になるかと思いますので、urlを貼っておきます。

https://www.youtube.com/watch?v=dRpnR2Q6GPI

>今回のような解法をとろうと思った根拠
単に、ロピタルの定理は大学受験では使用できないからですw

>三角関数の場合はどんなときも最後の性質を使えるように持ち込むのが主流ですか?
三角関数の極限で使える公式は写真の2種類です。また、
lim[x→0]cosx=1
も良く使います。これらが使える形に変形させることを念頭に置いて解いています。主流というか、大学受験レベルではここまでしか使えないから、といった理由でしょうか。

ひきわり

ご丁寧にありがとうございます😭
助かりました( ´ ▽ ` )

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