Question

Clearnote用戶

微分方程式について質問です！
　(2)の解説で、不定積分の任意定数が全て省略されている理由はなんですか。積分定数がまとめられる場合は一つにまとめて良いと思いますが、今回の問題でどうやって省略しているのか検討が付きません。また、最後から２行目の1/xの積分で、xの符号が不明なのにlog|x|の絶対値を外せる理由はなんですか。

1 (1) 次の線形非同次微分方程式
dy
+P(x)y=Q(x) の一般解は
dx
y=e-fp(x)dx
yes rod (SQ(x)dx+c)
して、
で与えられることを示せ。 ただし, P(x), Q(x) は x の連続関数であり, cは任
意の定数である。
(2) 次の微分方程式の一般解を求めよ。
dy
X- -y=x(1+2x2)
dx
(3)適切な変数変換を利用して、次の微分方程式の一般解を求めよ。 さらに,
x=1のときy=1 となるような解を求めよ。
dy y logx
dx 2x
=
2x
y3
〈九州大学工学部〉

(2) x
dy
dx
dy
1
dx x
y=x(1+2x2) £5,
y=1+2x²
よって, (1) で示した公式より、
dx
y = (√ (1+2x²³) e√ ( + + ) d x dx + c)e-(+)
-logx
=((1+2x)dx+c)
e
elogx
dx
= (√(1+2x²) dx+c) x (±) ab
1
x
=(S(+2x)dx+c)x=(logx+x²+c)x

=xlogx+x+cx
(3) z=y-2 とおくと,
=
logx
2x
dy
y
dx
2x
-2y
-3.
dy
+
x
dz
..
dz
dx
=
-yより,
-2y
-3 dy
dx
1
dx
+= z = =
dx x
1
-y
logx
X
logx
x
よって,(1)で示した公式より,
logx
z= (S( - 10g x ) est + dx + c ) e-s
==(S(-
X
=((-logx)dx-
elogxdx+ce-logx
*dx+c)e-***
=(S(-
logx
xdxtc (i) algab = b
x
=
x
(-flogxdx+c)=(-xlogx+x+c)
=-logx+1+
1
y²
=―
x
C
X
-logx+1+
さらに, x=1のとき y=1となるとすると,
1+c=1 .. c=0
よって, y=-
1
√-logx+1
x

微分方程式 数学