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大學

問題(2)についてです。
解答ではクラメルの公式を用いていますが、わたしはその発想がなかったので、普通に行基本変形をして解こうとしました。
解答を見て、なんでクラメルの公式を使おうと思ったのかがわからなかったので、例題に戻ってみると特殊な場合には有効であると書かれてありました。

特殊な場合というのは具体的にどういうときなのか?
そして今回クラメルの公式を用いようとする根拠は何なのか?この2点が疑問です。

よろしくお願いします🙇

2 次の連立1次方程式を考える。 ((1+2₁)x₁+ 21x₂ +x+..+ 1x =入1 入zxm =12 ⠀ : : : λnX1 + Anx2 +nxs+..+(1+入n)xn =入n (1) この連立1次方程式の係数行列をAとする。 A の行列式 |A」を求めよ。 (2) |A|キ0 のとき, この連立1次方程式の解を求めよ。 <神戸大学工学部〉 入2x1 + (1+2x+2x+··· + :
類題章末問題解答 =(1+2+...+in)|E|=1+入,+..+in (2) クラーメルの公式より、 2₁ 2₁ 入21+A2 ⠀ An 248 1 x₁ = 1+2+...+n 四国 1 2-01+2+ + 2₂: 2n X2= 1 1+2+... +in λ₁ 1+2+... +in 1 1+2+... +in 1 ①②1+入+... +入 n-2 一国 1 1+2+...+n 22 1+2+...+入n 1 1+入ュ+…+入n n-1-n 2n 2₁ 22 1 1+2+...+2n an • λ₁(-1)¹+¹|E| |1+A1 A1 22 22 ⠀ : An 2n 0 1 : 0 1 2₁ 0 22 0 2n -A2(-1) 2+2|E| 1+入1 2₁ 1 1+2+...+n 1 0 1+2+... +in 以上より, 求める解は, x1 X2 .: 22 1+入z : : an An 0 1 : 0 0 : .: 1 1+2+..+an An (-1)"+"|E| : 1 00 52... 1+An : 1 入 入2 22.. 入 1+an| 2₁ 22 入 2₁ 22 : 2n- (1)行基本変形は,その行基本変形に 対応するある行列を左からかけることに相当 する。 そこで, Q[A[E] = [B[P] とすると,行 列の演算の性質より, QA=B ...・・・ ① かつ QE=P••••••② ②より,Q=P これを①に代入すると, PA=B (2) PA=Bより, |P||A|=|B| ここで,B,Pが三角行列であることから、 |B|=2・1・1・(-2)・1=-4 |P|=1・1・(-2)・1・3=-6 .. (-6)|A|=-4 よって,|A|=2 3 (b) Ax=¹(1 20101) より, PAx=P'(1 0 01) :. Bx=P'(1 0 1 0 1) ( PA=B) ここで, P(101 0 1) 1 000 2 0 0 0 1 -2 0 0 2 1 10 3 3 1 4 -1 13 だから,x=(xyzwv) とすると (2x+y-z+w-v=1 y-2z-w+v=2 0 1 -5 1 ²+ w-v=-1 -2w+v=1 2 よって, x=| 1 1 3 v=3 0 HI 0 第11章 ベクトル空間 と線形写像 類題11-1 (1) V={XEM|AX=XA} (AEM) (i) AO=OA=0より,OEV (i) X, YEV とする。 A(X+Y)=AX+AY =XA+YA=(X+ Y)A ... X + YEV
112 第10章 行列式 例題10-5(クラーメルの公式) 次の連立1次方程式をクラーメルの公式を用いて解け。 3x-y+3z=1 -x+5y-2z=1 x-y+3z=2 [解説] 連立1次方程式の一般的解法は掃き出し法であるが,ある特殊な場合 にはクラーメルの公式が有効である。また, クラーメルの公式は線形代数にお いて理論的意義をもつ。 [解答] 与式を行列を用いて表すと、 3 -1 -1 1 .. |A|=|a az x= 5-2 -1 1 30-0--0- = 2/0 —— a3 x Z (x,y,z)=( y= 3 -2 3 1135 ore また, ba2 asl, la bas|,|a a b をそれぞれ計算すると, 1 -1 3 3 1 3 3-1 1 1 5 -2=-13, 2 -1 3 12 よって,クラーメルの公式により, -13 1 13 1 26 2' 26 2' - 1 1 -1 5 -1 1 1 2'2' ←Ay=b, A = (a a2 a3) とおく。 1) 3 2= =45+2+3-15-3-6=260 -2=13, 3 26 26 = 1 ・・〔答〕 1 51=26 1 -1 2
数学 クラメルの公式 編入数学徹底研究

解答

■特殊な場合について
"クラメルの公式が使える条件に当てはまる場合”を特殊な場合と言っているのだと思います.
例題10-5を例に取ると,条件は以下の2つです.
①3×3のような正方行列であることと,係数行列 𝐴 が  𝐴 ≠ 0 (つまり 𝐴 は正則)となること
②解が一意に定まる連立方程式であること

■クラメルの公式を用いる根拠
例題10-5の解説に書いてあるように,掃き出し法によって逆行列を求めて解く方法が一般的かもしれませんが,ご存じのとおり行列が大きくなるに連れて計算が大変になります.
一方でクラメルの公式は行列式の演算のみになるので,機械的に解くことができます.
一方で,クラメルの公式は行列式の演算になるので掃き出し法の演算に比べて

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