Question

あこ

この問題の解き方が全く分からないです🥲
教えてください！お願いします🙇🏻‍♀️

301 1辺の長さが6の正四面体 ABCD に内接する球
の中心を0とする。
(1) 四面体 OBCD の体積Vを求めよ。
(2) 球の半径r, 表面積、体積を求めよ。
B
C

Answer 1

あ

(1)正四面体A-BCDを、
O-ABC,O-ABD,O-ACD,O-BCDの4つの四面体に分割すると、
4つの四面体は全て同じ形をしてるので、
ひとつの体積をV(s)とすると、
V(s)=√3×6^2/4×r×1/3=36r√3/12=3√3r
これの4倍がABCDの体積に相当するので、
V=√2×6^3/12=36‪√‬2/2=18√2より、
12√3r=18√2
r=18√2/12√3=3√2/2‪√‬3=3√6/6=√6/2
OBCDの高さはrなので、
V=1/3×√6/2×√3×6^2/4=3√2×6^2/24=36√2/8
=9√2/2…答(ABCDの体積×1/4)

(2) (1)からr=√6/2
表面積=4×π×6/4=6π
体積=[4×π×(√6/2)^3]/3=√6 π
(分母=4×π×6√6/8=3√6π)