この問題の(3)の解き方を教えてください🙇‍♀️ 答えは363個です。

Mathematics

國中

已解決

1年以上以前

この問題の(3)の解き方を教えてください🙇‍♀️
答えは363個です。

4 T次郎さんとN子さんがテレビ放送で見た図形の模様について会話をしています。 N子さん昨日テレビ観た? 単行本も読んだけど何度観ても面白いよね。 T次郎さん: もちろん観たよ。確かに面白かったけど, どうしてもあの羽織の模様が気になって内容が頭に入ってこないんだよ。特にあの女の子の模様が気になってね。あさのはもんよう｡すきま私も気になってあの模様を調べてみたの。あの模様は「麻の葉文様」というもので, 健やかな成長や魔除けの意味があるらしいよ。合同な二等辺三角形を隙間なく並べた図形みたい。 T次郎さん : なるほどね。この図形って正三角形とか葉っぱのような図形とかがたくさんあるように見えるね。じゃあ、今からそのような図形が何個あるか数えてみよう! まず, 図1のような長さをもつ二等辺三角形を図形① として考えてみましょう。この図形①を3個並べると, 図2のような1辺の長さが3の正三角形が1個できるわね。じゃあ次郎さん, 図形 ① を隙間なく並べて1辺が43 の正三角形を作るには図形 ① が何個必要かわかる? 図 1 図2 N子さん N子さん √3 図形① -120° T次郎さん: 実際にかいたらわかりそうだね。ア個かな。 N子さん : 正解! では次に図3のように, 1辺の長さが3√3である正三角形の中に正三角形が何個あるのか数えてみましょう。まずは、1辺の長さが3の正三角形の個数は9個あるね。図3 次に, 1辺の長さが2√3の正三角形の個数は3個あるね。

最後に, 1辺の長さが3/3 の正三角形の個数は1個あるね。 T次郎さん: じゃあ, 正三角形は全部で13個あるんだね。 N子さん :では, T次郎さん問題です! 1辺の長さが4√3の正三角形の中には正三角形がいくつあることになるでしょうか? T次郎さん: さっきと同じように数えていって,•••••• えーと, 答えは N子さん : すごい! 正解だよ。 T次郎さん: あと, 図4の黒く塗られた部分は, 葉みたいな模様に見えるね。あさもん N子さん図4の黒く塗られた図柄は, 「麻紋」と呼ばれてるのよ。では, (ウ) 最後の問題です。図形① を使って図5のようにどんどん大きな正三角形を作ったところ, ある大きさの正三角形のとき, 図4と同じ大きさの「麻紋」が 45個ありました。このとき, できあがった正三角形は図形 ① を何個使ったでしょうか? _あさちん図4 T次郎さん: よし, この問題は全集中で解くぞ!! このとき,次の各問いに答えなさい。 (1) ア (2) イ (3) 波線部分 (ウ) の答えを求めなさい。に当てはまる数を答えなさい。を求める過程を解答用紙に記入し、図5 ☆ イイ個かな。に当てはまる数を答えなさい。

解答

✨ 最佳解答 ✨

すけ

1年以上以前

できあがった正三角形の1辺の長さと｢麻紋｣の個数についてまとめると、

1辺、個数
√3、0
2√3、0
3√3、1
4√3、3
5√3、6
・
・
・
となっています。

これを3以上の自然数nを用いて表すと、

1辺、個数
√3n、1+2+3+⋯+(n-2)

となります。

｢麻紋｣の個数が45個になるのはn=11のときなので、
できあがった正三角形は1辺が11√3の正三角形となります。
したがって、図形①を121×3=363(個)使ったと分かります。

※一応、補足しておくと
1+2+3+⋯+(n-2)のようなものを等差数列の和といい、
その和は{1+(n-2)}×(n-2)×1/2=(n-1)(n-2)/2と表されます。
(n-1)(n-2)/2=45より
n^2-3n+2=90
n^2-3n-88=0
(n+8)(n-11)=0
n≧3よりn=11
となります。
これは高校数学で習うため、この問題ではnに自然数を当てはめていくのが妥当な解き方だと思います。