Question

はるまき

√42が無理数であることの証明についてです。
m＝√42nなのでmが2よりも大きくなるのはわかるのですが、nがなぜ2よりも大きいといえるのかが分かりません。（青線部）教えてください。お願いします。

答 √42 が有理数であると仮定すると
√42mm,nは自然数)と表される。
n
=√42nとし、両辺を2乗すると m²=42n2... ①
結論を否定。
無理数でない
⇔有理数である
m≧2.n≧2であるから,m, n を素因数分解したものをそ6<42くから。
れぞれ
m=pip2.pk (P1, P2,, De は素数)
n=gg....... (g1, Q2,, q は素数)
とし、①に代入すると
2. 2.
Di2DzDk2=2・3・7g2q2qi2
ここで,②の左辺の素因数の個数は 2k個
右辺の素因数の個数は 21+3個
の断り書きを忘れず
に。
42=2･3･7
②
偶数個。
奇数個。
すなわち、 同じ数が2通りに素因数分解されることになり、参考 ②で、2の素因数の
素因数分解の一意性に反する。
よって, 42 は有理数でない, すなわち無理数である。
個数が, 左辺は偶数個,
右辺は奇数個であること
から矛盾を導いてもよい。
数学Ⅰの 「命題と証明」の単元においても,上の例題と同じような問題を背理法で証明する
ことを学ぶが (p.80), そこでは,pg を 「1以外に正の公約数をもたない (互いに素であ
約数と倍数

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

かき

この解説はちょと省略しすぎですね。

nを2未満の自然数、つまり、n=1とすると
√42=m/n=m/1=mとなり、
√42は自然数と仮定することになってしまいます。
ところが、
　36 < 42 < 49
6² < 42 < 7²
6 < √42 < 7
であり、√42 明らかに自然数ではない。

よって、n=1 であることは矛盾する。
したがって、n は2以上としないと、仮定そのものが成り立ちません。

はるまき

ありがとうございます！