Question

あ

行列Aの固有値の求め方が分かりません。

xの一次式を括ろうとしても上手く行きません。
すべて展開して3次式を因数分解すれば一応解けるのですが、固有値12を見つけるのは難しいです。

このような行列式の固有値を求める上手い方法はありますか？3次式にまで展開して因数分解する方法しかないのでしょうか？

例題 14
次の実正規行列 A を適当な直交行列Tによって標準形にせよ:
6-2
46
6-27
【解】 a(z)=(x-12){(x-3)2+62}
行列 A の固有値は,12,3±6i.
A12æの正規解u, Aæ=(3+6i)æの正規解”として,
2
1-2i
2+2i
-2+ i
u=
をとれば,=-
1
3
1
3√2
v+v
w₁= √2
II
: T-1AT=
2
1
は、 直交行列であって、
13
3
12
1+2i
2-2i は, Az=(3-6i)æ の正規解.
-2-i」
= [u w₁ w₂]
1
T=[www2]=
V=
2
-2
7
A = -2
1
3√2
36
-63
w2
1
ひ
√2i
Au=12u, Aw=3w6w2, Awz=6w1+3wz
AT=[Au Aw₁ Aw₂] = [12u 3w₁-6w₂ 6w₁ +3w₂]
12 0 0
0 3 6
-6
0
3
1
2
1 2 2
2-2 1
1-27
2
2
・実正規行列の標準化
AA', A'Aは, ともに、
89 22 44
22 56 22
_ 44 22 89
157
Av=(3+61)v
.. Av=(3+6i)v
:: Av=(3-6i)v
(*: Ā=A)
Aw₁=A
Av+Av
√2
(3+6i)v+(3-6i)v
√2
=3
=3w₁-6w₂

行列式 行列 標準化 正規行列 固有多項式

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Take

あ様

解答してみました。
あ様のおっしゃる通り、テキストのようにたった2行で求めるのは難しいです。どうにかしてφを求めてから単調性に気づいて12を見つけるしかなさそうです。

線形代数 固有値

あ

Take様

分かりやすく解説していただきありがとうございます！