Question

つ

(2)の別解で
最後の3行目からどのように答えに
繋がっているか分かりません。教えてください。

[2018 早稲田大]
複素数z は 271 かつキ1を満たす。2の偏角を0とするとき, 次の問いに答えよ。
(1) 2+z2+2+2' 25 +2は
である。
(2) cos + cos 20 + cos 40 は
解答 (1) -1 (2) (1) -1
(解説)
(1) 2+22+23+
の和である。
zキ1であるから 2+2²+
これとz=1から
z+22+23
|2|=1
の偏角は0であるから
したがって
別解 z'=1 から
27-1=0
左辺を因数分解すると (z-1)(2°+25+z4+ +z²+z+1)=0
z=1であるから 2° +25+2+23+ 2°+ z + 1 = 0
すなわち
2+2+23+2
25+26=7-1
(2) 21 から
よって
すなわち
2-11
である。
+ 26 は初項z, 公比である等比数列の初項から第6項まで
C
|2|¹=1
(ウ) 2
- 25 +26=-
²+2²+2³+2¹+2³+2²=1=1=-3--
別解 = 1 から
したがって
z = coso + isin o
(1) より,z+22+2+2 -25 +2°= -1 であるから, 実部に着目すると
cos + cos 20 + cos30 + cos 40 + cos 50 + cos60= -1
_
-41-29-4-2
2°= (cos + isin) + (cos20 + isin 20 )
また, 27=1より, 70=2k(kは整数)と表されるから
cos30 = cos (70-40)=cos (2kz-40)=cos(-40)=cos40
同様に考えると
ゆえに、①から
cos50=cos 20, cos60=cos@
+2cos20 + 2cos40=-1
2cos0
+(cos 30 + isin 30)+(cos 40 + isin 40)
+(cos 50 + isin 50)+(cos 60 +isin 60)
cos+cos 20 + cos 40 =-
1
2
2³=24, 25=2-2, 20=2-¹
18+22+23+2+2+2°=z+2°+2+2+2=2+z-1
=(cos 0 +isin 0)+(cos 20 + isin 20)
******
+(cos(-40)+isin (-40))+(cos 40+isin 40)
+[cos(-20)+isin(-20)}+(cos(10) +isin(0)}
CD=2cos +2cos 20 +2cos 40
(1) より,z+22+2 +2 + 25 +26 = -1であるから
イー1
cos + cos20 + cos 40
72
£
42
V
①
x.

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

すけ

赤線をひいたところを見てもらうと、
z+z^2+⋯+z^6=2cosθ+2cos2θ+2cos4θとなっています。
左辺が(1)より-1なので、
2(cosθ+cos2θ+cos4θ)=-1
cosθ+cos2θ+cos4θ=-1/2となっています。

つ

ありがとうございます！