Question

あいり

この問題のSを求めるところで、
二枚目のように立式してしまいました。
間違えた理由として、このように（上の曲線）−（下の曲線）と立式していいのはそもそもこの二つの曲線の交点が二つないと不可能だった、という認識であってますか？

428
00000
[信州大]
基本 167 25 26
曲線 y=logx が曲線 y=ax2 と接するように正の定数 αの値を定めよ。 また、そ
のとき,これらの曲線とx軸で囲まれる図形の面積を求めよ。
O
基本例題 258 接する2曲線と面積
指針▷(前半) 2曲線 y=f(x), y=g(x) が点 (b, g) で接する条件は
[f(p)=g(p)
y座標が一致
[ƒ'(p)=g'(p)
(p.283 基本例題 167 参照。)
(後半) (前半)の結果から2曲線の接点の座標がわかるから,
グラフをもとに2曲線の上下関係をつかみ, 面積を計算。
値
解答
②から
f(x)=10gx,g(x)=ax² とすると
f'(x)=¹, g'(x)=2ax
2曲線y=f(x), y=g(x)がx=cの点で接するための条件は
logc=ac² ① かつ
=2ac
1
-2/7/²
=
なお,面積の計算には [1] x 軸方向の定積分
の2通りが考えられるが,ここでは[1] の方針で解答してみよう。
a=
22
③を①に代入して
ゆえに
c=√e
このとき、 接点の座標は
よって, 求める面積Sは
1s=ff" 2/2xdx-S110gxdx
(3)
-1
1
logc= 2
自健粒
o 2e
√e
= 1² [ 3² ] ² - [xlog x= x
2e
= = √e-(= √²-√²+1)
したがって
傾きが等しい
(√e, 1/2)
ve
x1€
C
a=
1
2
0
1
2c² 2e
S
||
[2] y 軸方向の定積分
y=
1
ly=logx
2e
ve
y=f(x)
共通接線
y=
y=g(x)
①:f(c)=g(c)
②: f'(c)=g'(c)
接する
(後半) の 別解
(指針の [2] による)
2x² (x≥0)
=/v/e-1
3
x
⇔ x=√2ey
y=logx⇔x=e から
S=S(e-√zey)dy
= [ex_2√/2 √√y]
yv
3
=√e-
5-2√/2012 - 1/2-1
・1
3
√2
11. &

2
20
jo ( = x² - (09x) dx
re

積分 面積

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

希

この問題では2つの曲線とx軸で囲まれる部分の面積を求める問題です。
その立式だと、x軸を無視した状態になり、囲まれていない状態の面積を求めていることになります。

あいり

ありがとうございます。
解答とは関係ないのですが、書いてくださったグラフの斜線部分ってlog xが−∞にぶっ飛んでしまうので求まりませんか、？

希

一応求められますよ。
高校範囲ではy座標が∞や-∞になってしまう範囲での積分は出てきませんが、十分高校範囲でも理解できると思います。
おもしろいことに、x軸より下の部分の面積は1になることが分かります。

あいり

なるほど…！1になるのは驚きです。
とても興味深い内容でした。
教えてくださってありがとうございます。