Question

ゆっきー

(3)が分かりません。

教えてください。

[10] (4)
logx
1+px
関数 f(x)=
(1) 導関数 f'(x) を求めよ。
(2) f(x) は極小値をもたず, 極大値をただ1つもつことを示せ。
1
(3) 0<< のとき, f(x)の最大値は2より大きいことを示せ。
2e3
(x>0) がある。 ただし, は正の定数とする。

微分法

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

しし

(２)の極大値となる点のx座標をαとします。
g(x)=p-plog(x)+1/x
とすると、f'(x)の符号とg(x)の符号は一致するので、g(α)=0が成り立ちます。
g(α)=0⇔p=1/(α(log(α)-1))と変形出来ることを用いて、f(α)からpを消去すると
f(α)=log(α)-1
と表せます。
題意は、0<p<1/2e^3⋯①⇒f(α)>2⋯②
を示すことになります。
①⇔α(log(α)-1)>2e^3⋯③
②⇔α>e^3⋯④
と変形できるので
題意は③⇒④です。
あとはy=α(log(α)-1)のグラフを描くことで、題意が満たされていることが確認できます。

しし

最後のグラフはlim[α→+0]alog(a)=0となることに注意してください。