Question

み

この問題の解説を見ても最初からどういう意味か分かりません💦1枚目が問題、2枚目が解説です。分かりやすく説明して欲しいです😭

*295 f(x)は0でないxの整式で,次の等式を満たしているものとする。
xf'(x)+(1-x)f'(x)+3f(x)=0,
f(0)=1
(2) f(x) を求めよ。
(1) f(x) の次数を求めよ。

295 (1) f(x) を定数関数とすると,第2
f(x)=1
EOS
これは第1式を満たさないから不適。
f(x) の次数をn (n≧1) として, f(x) の最高次の
項を ax" (a≠0) とおく。
xf''(x) +(1-x)f'(x)+3f(x)のx" の項は
(-x) anxn−1+3ax"= (-n+3)ax"
xf'(x) +(1-x)f'(x) +3f(x)=0 は x について
の恒等式であるから,x" の係数において
(-n+3)a=0
α≠0より
n+3=0
よって, f(x) の次数は3
(2) (1) の結果とf(0) = 1 から,
よって
f(x)=ax+bx2+cx+1 (a≠0) とおける。
f'(x)=3ax2+2bx+c
f'(x)=6ax+26
が成り立つ。
ゆえに
これらを xf''(x) +(1-x)f'(x) +3f(x) = 0 に代
入して整理すると
(9a+b)x² + (4b+2c)x+c+3=0
これがxについての恒等式であるから
これを解いて
9a+b=0, 4b+2c=0, c+3=0
したがって
n=3
a=
=-1316=12/2, c=-3
b
2'
05
f(x) = - = x² + x²-3x+1
1
3
-x³
6

微分 第n次導関数 数3 数学

Answer 1

数学にわか

こんにちは！
簡単な解説を添付いたしましたのでご確認ください。
分からない部分、読めない部分等ありましたら遠慮なく仰ってください🙇‍♂️
(誤字が多くてごめんなさい🙏)

(1)は次数を予測する問題です。xの恒等式であることから、最高次数の係数も0にならなければいけません。式で最高字数が生まれる部分を予測し、それの和を考えています！

(2)は(1)を元にf(x)を具体的に表します。今回は次数が3なのでf(x)＝ax^3+bx^2+cx+dとおくことができ、問題文からd＝1もすぐに分かります！
あとは(1)と同じように代入し、恒等式であることを利用して解くだけです！

み

ありがとうございます！凄くわかりやすいです！マーカーの部分がよくわからないです💦なぜ最高次数が1のときを考えるのですか？それ以外は理解することが出来ました！

数学にわか

追加の解説を添付しましたのでご確認ください！

最高字数が1のときは、f"(x)で生まれるx^(n-2)の部分を考えることができない(1/xという本来生まれない値になってしまう)ため、別で考えています！

しかしよくよく考えてみると、an(n-1)x^(n-2)にn＝1を代入すると、実際のf"(x)と同じ0になり問題なく成り立っているので、正直場合分けはしなくてもよいかもしれません💦

分かりにくくしてしまって申し訳ないです🙇‍♂️

み

ありがとうございます！理解することが出来てすごい嬉しいです😭とても分かりやすかったですありがとうございました！