Question

えす

数Bの数列の範囲で、解き方が分かりません。回答お願いします。

11. 数列{an} は, α = 1, および, すべての自然数n
4-an
をみたすとする. このとき,
に対して, an+1
3-an
次の問いに答えよ
(1) a2,a3, α」 を求めよ.
(2) 一般項を推測して, それが正しいことを証
明せよ,
( 22 高知大教)
12. 自然数nに対してS(n) を次のように定める.
S(n)=13+23+33+..+(n-1)+n²
また,
T(n) = { ½ n(n+1)}²
とおくこのとき, すべてのnに対して次の等式が
成り立つことを,nについての数学的帰納法を用いて
証明せよ.
S(n)=T(n)
( 22 奈良教大)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

数学にわか

こんにちは！
簡単な解説を添付いたしましたのでご確認ください。
分からない部分、読めない部分等ありましたら遠慮なく仰ってください🙇‍♂️

11は一般項を予想する問題です。a_2やa_3に分数があるとき、分数全体の変化の規則ではなく分母や分子の変化の規則からa_nが導けることがよくあります。今回もその一例ですね！

余談ですが、「推測して、それが正しいことを示せ」系の問題では数学的帰納法を使うことが多いです。
しかしながら今回のように代入した時点で明らかに成り立っているのであれば、無理して帰納法を使う必要は無いと個人的には思います！
ただあくまでもこれは珍しい例で、普通は帰納法を使うという認識は持っておくべきかと思います！

12は帰納法の問題です。コツとしてはS(n)＝T(n)からS(n+1)＝T(n+1)を導くとき、求めやすい方を基準にすることです。
＝を保つためには四則演算のみを行うべきですが、そうするとT(n)よりもS(n)の方が圧倒的に楽だということがわかります。(n+1)^3を加えるだけでS(n+1)が求まりますからね！
したがってこれを基準とし、T(n)に(n+1)^3を加えることでT(n+1)を導く方針をとると、考えやすいと思います！

求めやすいものを基準にして証明することは多々あるので、一つの示し方として頭に入れておくと良いと思います！