Question

higiwa

整数問題です。
訳わからないので丁寧に教えて下さい！

自然数x,y,zを素数とする。 z = 80x²+2xy-y²をみ
たす (x,y,z)の組のうち,²の値が2番目に小さい組を求
めよ。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

ぱらぱらぱ

如何でしょうか

higiwa

凄く分かりやすいです！
ありがとうございます！

Answer 2

なゆた

1歩遅かった…
せっかくなので泣
もう寝ますわ

higiwa

ありがとうございます。
おやすみなさい。

Answer 3

きらうる

z＝81x²-x²+2xy-y²
　＝81x²-(x²-2xy+y²)
　＝(9x)²-(x-y)²
　＝(9x+x-y)((9x-x+y)
　＝(10x-y)(8x+y)
一番小さい素数は2であるから、z≧3の素数になる。
また、x＜yとすると、10x-y＜8x+yになるから、
10x-y＝1、8x+y＝素数　になれば題意を満たす。
ここからは、x,yに素数を代入して成り立つものを探していくほかありません。(これしかやり方が思いつきません)
(x,y)＝(2,19)のとき、z＝35×
　　　　(3,29)のとき、z＝53○
　　　　(5,49)×
　　　　(7,69)×
　　　　(11,109)のとき、z＝197○
よって(x,y,z)＝(11,109,197)

higiwa

ありがとうございます！

一番小さい素数は2であるから、z≧3の素数になる。
これは何故でしょうか？
xとyに2を代入したってことでしょうか？(それでもわからない)

x＜yとすると、10x-y＜8x+yになるから、
これは何故でしょうか？

色々すみません。

きらうる

１つめ
zは2番目に小さい素数という注意書きがあります。一番小さい素数は2なので、zは3以上でしかないというわけです。
結果的に正直どうでもいい範囲でしたけど…

２つめ
10x-y＝8x+y　を解いてみると、x＝yになります。10x-y＝8x+yになるはずがない(同じ数を掛けたらzが素数じゃなくなっちゃうので(のと、8x+y＝1にはなりえない(zが素数であるためには片方が必ず1でないといけない)ので、10x-y＜8x+yとなるのです。

higiwa

ありがとうございます。
理解できました。