ba, as b
の公
0
90 等比数列と対数
重要 例題
0000
数列{an} は初項1,公比5の等比数列である。 a1+a2+...... +an ≧ 102 を
満たす最小の n を求めよ。 ただし, 10g102= 0.3010 とする。
[ 学習院大 ]
p.467 基本事項 3, 基本 86
CHARTO OLUTION
等比数列の和
対数の利用･････!
不等式の左辺を計算して整理すると5"410100+1
このままでは,nの値を求めるのは難しい。 そこで, 対数 (数学ⅡI の内容) を利用
するとよい。
なお,5≧4・10100 +1 のままでは,両辺の常用対数をとっても右辺の計算がうま
くできない。 そこで, nが自然数のとき 5"≧4・10100 +1 と 5>4・1010 は同値で
あるから, 5">4・101 の両辺の常用対数をとって計算するとよい。
解答
a+a+......+an=
1-(5"-1)=(5-1)
よって与えられた不等式から
整理して 5"≧4・10100 +1
ゆえに, 5">4･10100 を満たす最小の自然数nを求めればよい。
両辺の常用対数をとると
nlog10510g104 +100
n (1-10g102) >210g10 2+100
10g10 2=0.3010 であるから
Pea
0.6990n>100.6020
(5-1) ²10¹00
よって
100.6020
n>
-=143.9......
0.6990
ゆえに, n ≧144 のとき 5">4・10100 が成り立つ。
したがって、求める最小のnの値は
n=144
009
← Sn=
a(r"-1)
r-1
◆右辺を1少なくしても,
式の形からnに影響を
08
及ぼさない。
10g105"=n10g105,
log104.10100
log104+log10 10100
= 210g 10 2+100
10g105=10g10-
475
10
2
=10g1010-10g102
=1-log102
■ 5” は単調に増加する。
METOA *88
ARE (14)
3章
11
等比数列
