Question

Peter

私の読解力の問題かもしれないのです。画像は問題と回答なのですが、この回答の｢r^2は有理数であるから〜矛盾する｣の意味がわかりません。
最初に√xを有理数と置いて、＝xは有理数と置いていると思うのですがなぜxが無理数であることに矛盾するのですか？
無理数であることに矛盾しているのに ｢よって√xは無理数｣となるのですか？

116 実数xが正の無理数であるとき, x は無理数であることを証明せよ。

を示してもよい。
116 √xは無理数でないと仮定すると, √xは有
理数である。
その有理数をrとすると
両辺を2乗すると
x=12
が有理数のときは有理数であるから,この
等式はxが無理数であることに矛盾する。
したがって, √xは無理数である。
√x=r:0
[1
[

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

みや

問題文より、x=無理数…①
‪√‬x=(仮定)有理数
x=r^2=有理数
x=有理数…②
①と②で矛盾

問題文がxは無理数だと言っているので、
あとからxは有理数だと言われてもxは無理数
矛盾（x=無理数=有理数！？）が起こっちゃったから、じゃあ‪√‬xを有理数と仮定したとこから違ったのねってなって、ルーレットxは有理数じゃない無理数だって分かる…!!

伝わりますかね🙏

みや

すみません…ルーレットではなく‪√‬です

Peter

ありがとうございます！！🙇🏻‍♀️🙏🏻めちゃくちゃ納得しました！！

みや

良かったです😌

Answer 2

maple

仮定したのは「√xが有理数」です。これは仮定なのでまだ正しいとは限りません。
また、「xが有理数」とは仮定していません。問題文より、「xが正の無理数」という条件があるので、xは有理数ではなく無理数です。

整理すると、正しいこと→「xは無理数」、仮定(正しいかどうかまだ分からない)→「√xは有理数」

ここで計算してみると、なんと「xが有理数」という結果が出てしまいました。これは問題文の「xは無理数」に矛盾しますね。
なんで矛盾が生じたのでしょう？その原因は「√xは有理数」と仮定してしまったからです。
つまり、「√xは有理数」という仮定が間違っているからこの矛盾が生じたのであり、「√xは無理数」が正しい、ということになります。

Answer 3

mo1

この流れは、

　□は無理数であることを証明するとき

　　無理数か有理数の2択で、

　□が、有理数とすると、おかしい(矛盾する)

　　とすれば、

　□は、無理数だ

という感じです。

このとき、数学的におかしくならないような

　語句と言い方をしているだけです。

(定型的なものとしてとらえると良いかもしれません)