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基本例題 an+1=pan+ (n の1次式) 型の漸化式
a=1, an+1=3an+4n によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
GUME
(XMR)
基本 116
指針 p.560 基本例題116の漸化式an+1= pan+g の g が定数ではなく, nの1次式となって
る。このような場合は,nを消去するために 階差数列の利用を考える。
CHART 漸化式 an+1= pan+(nの1次式) 階差数列の利用
解答
an+1=3an+4n
① とすると
an+2=3an+1+4 (n+1) ②
......
②① から
an+1 - an = bn とおくと
bn+1=3bn+4
これを変形すると bn+1+2=3(6+2)
an+2an+1=3(an+1-an) +4
n≧2のとき
また
b1+2=az-a1+2=7-1+2=8
よって, 数列{bn+2} は初項8,公比3の等比数列で
bn+2=8.3n-1 すなわち bn=8.37-1-2‥.
n-1
an=a₁ + (8.3k-¹-2)=1+
k=1
=4.3"-1-2n-1
8(3-1-1).
3-1
......
T
(*)
-—2(n−1)
00000
①のnに n + 1 を代入する
と②になる。
差を作り, n を消去する。
{bn} は{an}の階差数列。
α=3a+4 から α=-2
az=3a1+4•1=7
n≧2のとき
n-1
An=A₁+ [br
k=1
n=1のとき
4・3°-2・1-1=1
=1であるから, ③はn=1のときも成り立つ。
したがって
an=4.3" 1-2n-1
[参考] (*)を導いた後, an+1-an=8・3″-1-2に①を代入して an を求めてもよい。
-4-20
初項は特別扱い
CO
検討 {α-(an+B)} を等比数列とする解法
例別アブ 例題はan+1=pant(nの1次式)の形をしている。そこで,f(n)=an+Bとおき,
ローチ
an+1=3an+4nが, anti-f(n+1)=3{an-f(n)}
① の形に変形できるよう
Bの値を定める。
{a(n+1)+B}=3{an-(an+B)}
