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第5章 微分
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69 増減 極値 (Ⅰ)
f(x)=x+a(x-2)^ (a>0) について,次の問いに答えよ。
(1) f(x) が極小値をもつようなaの値の範囲を求めよ.
(2) (1) のとき極小値を与えるæを」 とすれば,2<x<3 が成りたっこ
とを示せ.
4次関数の微分は数学ⅢIIの内容ですが、 技術的には, 数学ⅡIの微分
精講
の考え方と差はありません.
極大-
(1) 4次関数 (x の係数<0) が極小値をも
つとはどういうことでしょうか?
極大
とりあえず,f'(x)=0 をみたす x が存在しないと
いけませんが,y=f(x)のグラフを想像すると右図
のような形が題意に適するようです.
ということは,極大値を2つもつ必要もありそうです. このことから、次
のことがいえそうです。
f'(x) = 0 が異なる3つの実数解をもつ
(数学ⅡB91)
(2) x=xはf'(x)=0 の3つの解を小さい順に並べたときの中央の値にな
りますが, 方程式の解が特定の範囲に存在することを示すとき, グラフを利
用します。 (数学Ⅰ・A45解の配置)
解答
(1) f'(x)=4x²+2a(x-2)=g(x) とおく.
f(x) が極小値をもつとき, g(x)=0 は異なる3つの実数解をもつ。
g'(x)=-12x2+2a=0 より
a
x=+₂₁ (a>0 より)
6
g(x) において,(極大値)(極小値)<0であればよいので
4a
a
4a a
Aa
(√6) 9-√3)(√6-10) (-34 √2-40)
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基礎問
