Question

味噌汁

写真の問題がわかりません！解説（右の写真）の丸で囲んだ部分でbn+1が（b1+1）×2^(n-1)に変形されるのでしょうか？
どうやってもbn+1=bn+1/2以外の変形が思いつきません。
わかる方教えてくださると嬉しいです。

次の関係式によって定義される数列{an}の一般項を求めよ。
(1) a1 = 0, an+1
=
2an+n

1) <解法1>
an+2=2an+1+n+1, an+1=2an+nが成り立つので、
an+2an+1 = 2 (an+1 -an) + 1
よって, bn
=an+1 - an とおくと, a2 = 1より, b1=1で、
bn+1 = 2bn + 1
この式は, bn+1+1= 2(6+1) と変形できるので, b=1より,
on +1 = (b+1).2n=2"
よって, bn=2"-1
したがって, n ≧2で,
n-1
An = a₁ + Σ (2k − 1) = 0+2. 2″−¹ − 1 - (n-1) =2" - n-1
2-1
k=1
これはn=1のときも成り立つ。 よって, an = 2n-1…(答)

数列 漸化式 隣接2項前科式

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

高橋

b(n)＝a(n+1)-a(n)とおいたのと同様に、c(n)＝b(n)+1とおくと、「b(n+1)+1＝2(b(n)+1)」は「c(n+1)＝2(c(n))」と表せます。
これは等比数列なので、c(n)＝c(1)･2^(n-1)となります。
丸で囲んだ部分は、そういう意味だと思います。

味噌汁

なるほど、理解できました。ありがとうございました！