Question

り

解説が2枚目の写真の右半分からほぼ理解できません。普通の絶対値の問題はできます。詳しい解説かもしくはなにをどこで学び直せばよいか教えてください。

実力アップ問題 86
難易度 ★★★
CHECK 1
CHECK2
xの関数f(x) = /**
=S*12y(y-5)|dy の2≦xにおける最小値を求めよ。
x-2
CHECK 3
(千葉大)

ヒント! z=|y(y-5)|のグラフの形から,7<xのときf(x)は単調増加する
ことが分かるはずだ。 よって, 2≦x≦7の範囲にf(x) の最小値は存在するんだね。
この範囲をさらに,(i) 2≦x≦3と(ii)3<x≦7 に場合分けしてf(x) を求め
て調べればいい。 頑張ろう!
yz 座標平面において,
z=g(y)=y(y-5)=y²-5y
1
この種の問題では,同様の定積分が何回
も出てくるので,予めg(y) の不定積分と
して③を求めておく方が計算が早くなる。
とおくと,
f(x)=∫*^^|g(y)|dy… ② (2≦x)
2
x-2
となる。 よって
図 (i), (ii) に示すように, 関数 f(x) は,
2≦x≦7の範囲をさらに (i) 2≦x≦3
と (ii) 3 <x≦7 に場合分けして調べる
必要がある。
x-2>5
z=g(y)
(i) 2≦x≦3のとき,
すなわち
7<xのと
き,右図
から明らか
に,xの増
bat
(f(x))
z=-g(y)
5x-2 x +2
y
z=g(y)
加とともに,網目部の面積である f(x)
も増加する。
つまり, 7xのとき, f(x) は単調増加
関数となるので、この範囲にf(x) の最
小値は存在しないことが分かる。
よって, f(x) の最小値は2≦x≦7の範
囲に存在する。
ここで, ①より,さらに,
G(y)=g(y) dy=f(v2-5y) dy
∴. G(y)=
) = -√ √ ² - ²5/² x ² + ²
2
後にこれは定積分になるので,このCは無視
126
23
図 (i) に示すよ図 (i)
うに,
J0≦x-2
lx+2≦5
となるので,
関数 f(x) は, 0x-2
x+25
f(x) = -f**^g(y) dy (②より)
x-2
= - [G(y)]*²
=-G(x+2)+G(x-2)
5
- 2)²
==
1/2/3(x+2)+1/2/12(x+2)2
1
+33(x-2)²¹-52(x-2)² (®£ 1))
(x-2)(③より)
·{(x+2)³ − (x − 2)³}
3
2(6.x2+8)
+ +½{(x + 2)² − (x − 2)²}
8x
z=-g(y)
(f(x))
y

f'(x)=2x²-10x+8=2(x²-5x+4)
よって, 2≦x≦3のとき,
5
S(x) = -3/17 (6x² + 8) + 2 + 8x
=2(x-1)(x-4)
z=f(x)
よって,3<x≦7にお
16
= -4.x2 +20.x
253
3
2
いて, f'(x)=0となる
16
1 34
x
-4(x²-5x+25-13 +25
のは, x=4のときである。
また,極小値f (4) は,
2で割って2乗」
65
49
59
f(4)=
80 + 32 +
上に凸の
128
3
-4(x-
+53
3 3
2次関数
以上(i)(ii) よりx≧2におけるf(x)
また,
の増減表は次のようになる。
f(2)=f(3) = -16+40-1¹6-56
増減表 (2≦x)
3 3
2
3
4
図 (ii) に示すよ 図] (ii)
(f'(x)
0 +
うに,
56
56
(49
f(x)
3
3
x-2≦5<x+2/ z=g(y)=g(y)
(f(x)
極大
極小であり,かつ最小
となるので,
関数 f(x) は,
201 x-2
以上より, x=4のときf(x) は
5x + 2 y
49
x+2
をとる。
f(x) = -², (v) dy+f**v) dy (2) ƒ(4) = 3
x-2
5
- [G(y)] - 2 + [G(y)]'+2
u=f(x)のグラフのイメージ
=G(x+2)+G(x-2)-2G(5)
u
f(x) = -4x2+20x
16
3
125 125
59
125
3
3
2
6
1/13({(x+2)+(x-2)^2}-1212 ((x+2)+(x-2)^}
f(x) = ²x³ - 5x²
11/13 •2(x³ + 12x) - ・2(x^2+4)
65
2
+8x+
3
125
=
-(x+12.x)-5(x² + 4) +
5
7
X
(③より)
65
= 3x²³ −5x²+8x+ 3
N字型の
3次関数
=
(ii) 3 <x≦7のとき
z=f(x)
I
56
3
49
3
最小値
0
+
52033
(59
10/21
253
I
4
6
I
/

数ii 積分 微積

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

まーちゃん

y=f(x)っていうのが頭にこびりついてるとちょっと
ややこしくなる問題ですね。
この問題でのyはいつものaとかと変わらないただの文字です。
がんばれー

り

ほんとに助かりましたありがとうございます😭🙇‍♂️