Question

うれしょんのみじろう

C上既約であるかを確認する方法を教えてください🙇‍♂️類題が有れば教えていただ期待です🙇‍♂️

問題 1. 次の2次式 f(X,Y) e R[X, Y] がC上既約であるかどうかを判定せよ. 更に, f(X,Y)
がC上既約である場合は VR(f)が「空集合」「楕円」 「双曲線」「放物線」 のどれであるかを判定し,
C上可約である場合は Vc(f)の特異点を求めよ。
(1) f(X,Y) = X? + 4XY +2Y? + 2X + 16Y - 17
(2) f(X, Y) = X? +4XY + 2Y2 + 2X + 16Y- 19

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Crystal Clear

Yの多項式が係数のXの多項式と見て考えることにする。
Xの2次式だから結局のところ解の公式を使ってルートの中が(yの多項式)^2になれば、ルートが外れて2解を用いて因数分解できる。

これをアイゼンシュタインの既約判定法の言葉で言うと、
Xに関して平方完成したときに
f(X) = (X+g(Y))^2 - h(Y)
となるが(g,hは多項式)、fが既約なことと、fをg(Y)だけ平行移動したもの
f(X-g(Y))=X^2 - h(Y)
が既約なことは同値。
f(X-g(Y))=X^2 - h(Y)　にアイゼンシュタインの既約判定法を用いるとXの1次の項が0であることに注意すると、
h(Y)がY-αで割り切れて(Y-α)^2で割り切れない
が条件になる。
h(Y)は解の公式のルートの中の定数倍だから、初めに書いた内容と同じことを言っている。

うれしょんのみじろう

めちゃめちゃわかりやすすぎて感動しました。大学の講義が10分で全て理解できて気持ちがいいです。別の質問にも答えていただきありがとうございました😊🙇‍♂️