Question

オウ

線形代数学の問題です。よろしくお願いします！

4|Aをn次交代行列とする。
(1) n が奇数のとき、Aの行列式は0となることを示せ。
(2) n=2および4の場合、Aの行列式は成分の多項式の完全平方式となることを示せ。
(一般にnが偶数の場合、交代行列Aの行列式は成分の多項式の完全平方式となることも
示すことが出来る。)

Answer 1

哲治

１番目
交代行列よりtA=-A
detA=det(tA) ←detの性質
=det(-A) ←交代行列より
=(-1)^ndetA←detの性質
よってdetA=-detAより
detA=0となる。

哲治

二番目はn=2は明らか。
n=4の時は行列式の定義を使って書きくだす。
そして例えばa12=-a21であることを使って整理したら
題意を確認できます。
これ一般の場合はかなり証明難しいです。