例えば
I think (that) you should apologize to your friend.
「君は友達に謝るべきだと思うよ」
関係詞以降の文はこの文と同じ形です。
I believed was playing(略).
believedの後ろにいきなりwas(be動詞)が来ており、これでは文の中に動詞が2つ存在してしまいます。そこで、例文のようにthatを入れます。もちろんこのthatは訳しません。
I believed that was playing(略).
例文を見てお分かりの通り、thatの後ろには「主語」が来ます。今回の問題では先行詞がmy sonですね。
I believed (that) my son was playing(略).
これでSV that S'V'という形の文ができました。
さて、今回my sonは主語として使いました。
関係詞のうち、人の主語の代わりをするものと言えば、whoですね。答えはwhoとなります。
whomは人が目的語として扱われているときに、その関係詞として使うことが可能です。
He is my son whom I give my watch.
「彼は、私が腕時計をあげた私の息子だ。」
I give (my son) my watch.
my sonが先行詞としてあるのでwhomで繋げてあげる。