解答

例えば
I think (that) you should apologize to your friend.
「君は友達に謝るべきだと思うよ」
関係詞以降の文はこの文と同じ形です。
I believed was playing(略).
believedの後ろにいきなりwas(be動詞)が来ており、これでは文の中に動詞が2つ存在してしまいます。そこで、例文のようにthatを入れます。もちろんこのthatは訳しません。
I believed that was playing(略).
例文を見てお分かりの通り、thatの後ろには「主語」が来ます。今回の問題では先行詞がmy sonですね。
I believed (that) my son was playing(略).
これでSV that S'V'という形の文ができました。

さて、今回my sonは主語として使いました。
関係詞のうち、人の主語の代わりをするものと言えば、whoですね。答えはwhoとなります。

whomは人が目的語として扱われているときに、その関係詞として使うことが可能です。
He is my son whom I give my watch.
「彼は、私が腕時計をあげた私の息子だ。」
I give (my son) my watch.
my sonが先行詞としてあるのでwhomで繋げてあげる。

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これは「連鎖関係代名詞」と呼ばれるものです。

実は、実際の英文ではwhomも使われることもあるのですが、文法的に最もふさわしいのはwhoですね!

なぜwhoが文法的にふさわしいのか知りたいのであれば、私のノートなどをご覧ください。
連鎖関係代名詞を基礎から解説しています。
理解できない部分があればノートのコメントで良いので聞いてください!

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これ以降は私のノートを読んで連鎖関係代名詞について理解してから読んでください。

whomが使われるのは「関係詞牽引」などと呼ばれます。
私のノートを読んでいただいたなら、whoが適切であることは分かったかと思いますが、ではなぜwhoではなくwhomが使われるのかと言いますと、一見
 believedの目的語
のように見えるからだとされています。believedの「目的語」と錯覚する→「目的格」の関係代名詞whomが使われる、という形ですね。

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