Question

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多様体の接ベクトルに関する性質の証明なんですけど、(1)が分かりません。
素直に訳すと、(1)は「多様体上の滑らかな関数fとgが点pの座標近傍で同じなら、その接ベクトルv(f)とv(g)は同じになる」だと思うんですけど、証明でf(p)=0,g(p)=1と明らかに異なる値をとっている事を利用しています。

また、証明の初めに書かれている事を素直に訳すと「線形性より近傍でf=0ならv(f)=0であることさえ示せば十分」となると思うんですけど、これもよく意味が分かりません。

11. Lemma. Let ve T,(M). (1) If f, ge F(M) are equal on a neighbor-
hood of p, then Uf) = v(g). (2) If he F(M) is constant on a neighborhood of p,
then u(h)
0.
三
Proof.(1) By linearity it suffices to show that if f = 0 on a neighbor-
hood W of p, then u(f) = 0. Let g be a bump function at p with support in W;
then fg = 0onall of M. But v(0)= u(0 + 0) = u(0) + u(0) implies v(0) = 0. Thus
0= (fg) = v(S)g(p) + f(p)v{g) = u(f),
since f(p)
(2) By(1) we can assume that h has constant value c on all of M. If 1 is the
constant function of value 1, then
0 and g(p)
1.
ニ
(1) = (1.1) = (1)1 + lu(1) = 2v(1).
Hence v(1) = 0, and v(h) = u(c· 1) = cu{1) = 0.

多様体 接ベクトル

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

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pの近傍u上でfとgが等しいとき、v(f)=v(g)
という主張は、
pの近傍u上でf-gが0に等しいとき、v(f-g)=0
と同じ
よって示せばいいのは
pの近傍u上でfが0に等しいとき、v(f)=0

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つまり、Lemmaで使われているf,gとProofで使われるf,gは記号が同じだけで違うもの

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v(f)=v(g)→v(f)-v(g)=0→v(f-g)=0という変形が「線形性により」の意味するところであり、v(f)=0さえ示せたらv(g)=0は自動的に言えるから、示すのはf=0→v(f)=0だけで十分ということですね。

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前半はその通りです。
後半は
f=0⇒v(f)=0
を示せば、
f=g⇒f-g=0⇒(上の主張を使う)⇒v(f-g)=0⇒v(f)=v(g)
が示せるということです。

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ありがとうございます