Question

みょん

①-②をして、kについての恒等式を立てたのですが、そのやり方では出来ませんでした。何故かわかる方いらっしゃいますか…??🙇‍♀️🙏

数字I
深音 をが実数全体を動くとき, 2つの直線4,:ky+x-1=0, la: y-kx-k=0の交点はどんな図形
111
[類立教大)
を描くか。
y
そk=-
x+1
を利用する
ky+x-1=0
0, yーkx-k==0
2とする。
交点をP(x, y) とすると, x, yは①, ② を同時に満たす。
のから
ことから,x+1キ0と
k(x+1)=y
[1] x+1キ0 すなわち xキー1のとき
01 x8x+130 の場合に分ける。
の文字しを
3から
k=-
x+1
のに代入して
y?
+x-1=0
x+1
分母を払って
y°+(x+1)(x-1)=0
(13-1x+(18-リ
したがって
x°+y°=1
4
④において, x=-1とすると
y=0
(1+ txキー1であるから,
ゆえに,xキー1のとき, 2直線の交点は、円4から点 x=ー1のときの点は除
(-1, 0) を除いた図形上にある。
[2」 x+1=0 すなわち x==-1のとき 2から ソ=0 ケ
x=-1, y=0は① を満たさないから, 点(一1, 0) は図形上-① は -2=0 となり,
の点ではない。
以上から,求める図形は
円x+y°=1
63 (x)外する点となる。
O 査
不合理。
ただし,点(-1, 0) を除く。
引京中 09代
検討 のから ky+(x-1)=0, ② から y-k(x+1)=0
よって,直線&は常に点A(1, 0) を通り, 直線&2は常に点
B(-1, 0) を通る。
また,2直線 L, leの係数について,k·1+1·(-k)=0 である
から,直線,と直線2は垂直に交わる。
ゆえに,その交点をPとすると
したがって,点Pは, 2点A, Bを直径の両端とする円周上
にある。
ただし,lは直線 y=0 を, leは直線x=-1を表すことはな
いから,その交点(-1,0) を除く。
し
ZAPB=90°
le
0=S-+vE-)
B
-10|
A
x
1

青チャート 数学ii 高校数学 図形と方程式

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

メガネ

理由は二つあります。

　まず、足し算(引き算)は同値な変形にならないからです。例えば、「a=4,b=3 ならば a+b=7」は成り立ちますが、その逆である「a+b=7 ならば　a=4,b=3」は成り立ちません。足し算後の式は、a=5,b=2 など別の値まで含んでしまうんですね。
　解決策としては”変形前の条件“を1つ残すことです。先の例で行くと、「a+b=7, “a=4” ならば a=4,b=3」あるいは「a+b=7, “b=4” ならば a=4,b=3」とすれば同値な変形になります。
　今回の問題の場合は単なる足し算(引き算)ではkを消去できないのでうまくいきません。①×(x+1)-②×yとすれば消去できますが、これは解答例の代入とほとんど同じ操作ですね。

　もう一つは、恒等式を立てることが適切でないからです。恒等式というのは、変数がどのような値をとっても両辺が等しくなる等式のことです。つまり、「“変数”についての恒等式が成り立つように、“定数”の値を定める」という手法を用いることができるんですね。
　xとyが変数でkが定数ですので、kについての恒等式を立てるのは”変数“と”定数“を混同していることになり上手くいきません。

　別の解答例ものせておきます。二乗の和の形への同値変形を用いて、恒等式ではなく二次方程式が実数解を持つ条件に落とし込んでいます。
　
　参考になれば幸いです。

みょん

ご丁寧な解説、感謝します!!ありがとうございます。