Question

ペンローズ

zに対する変分δI₁の出し方がわかりません、教えてください

2 一般相対性理論
i番目(i=1, 2, ……, N) の質点の座標を z"(ri) あるいは略して z(i), 固有時を T
() は dz"(ri)ldriを表わす。 また g() とは gpola(i)) のことである。このI
さて(2.43) の 2(i) に対する変分を計算してみよう.ここでながi番目の粒
となる。したがって Isは, 任意の座標変換に対してその値が不変, つまりス
またその質量をmi とすると, この物理系の全作用積分Iはつぎのようになる:
27
ここでムは
Iム=-2mcv-gm()P()E(Hdru
(2.43)
は次のようにかくこともできる:
I、= -2mc||v-g()を()ぜ(みのー2(i)dzid"a.
(2.43))
1
Iはつぎの量である:
=1
Jadu
1
1
I,= -
2cK.
-g·Rd*a.
(2.44)
ミ
2cK,
一般にテンソルにV-gのかかった量をテンソル密度とよび, それをもとの
テンソルと区別するために花文字で表わすことにする。特に上にでてきたRの
ように,スカラーRにV-gのかかった量をスカラー密度とよぶ。
座標変換 →'に対してスカラーは
R(x) = R'(x')
であるが,スカラー密度は, V-gという量がついているために
R(r) = R(®,.)
(2.45)
あるいは簡単に
al2)
という関係をみたす。 (2.45) から
(e co)5
(2.45)
R(x^)d*a' = R(2)d*x = スカラー
カラーである。
子の固有時であることに留意すると

dst.
三
=C
となるから,た(1/V)は0となる。て積分の両端では 0z30 とすると
dre
-T'aKi)a"(i)&(i)]gap(i)az"(i)dze
となる。したがって Hamilton の原理により
ど()+Ta(i)()(i) = 0
(2.7)
という運動方程式が導かれる。
つぎに g の変分,およびそれに伴うT"ag の変分によりIにどのような変分
が生まれるかを考えよう.ここでも g, したがってまたT"agの変分はIの積
分域の表面上で0になるものと仮定する。
まずIの変分は次のようになる:
お
「RmlV-ggm)
aIa =
三
2ck
-3(V-gg)ara+d&(V-gg")ar*@p
+V-gg""(2Tag0T"sa-T"ubT°?ag-IT'ap0T®p)}d*e.
この右辺第2,第5項を一緒にすると, p. 21 のT°pa に関する公式
3,V-g= V-g-T'。
を用いて
-V-g(Opg+T" pogau +T"poge®)ar®ya
となる。この( )の中は(2.10)” により0となる。
まったく同様に,第3,4,6項を一緒にすると
hons a
V-g(Oag+T"apgeu +T"ag®®)aT°ae
これも(2.10)”のために0となる. そこで結局3I:は第1項だけとなる。
ので。
ここで
fpbeepb.6 = be
ag = -g"g"eagap
(2.46)
という公式を使うと
al,=V-Gagud"a
(2.47)
2cKJ

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

Crystal Clear

gは座標zにおける値g(z)であることに注意して計算

d/dτ(1/√)=0 はどこで使うのかよくわからない。多分想定されている計算過程と違うのだろう

測地線

ペンローズ

ここではI₁を物質場、I₂を重力場に対する作用としていると思うのですが、このやり方で宇宙定数の項はどのように考えればよいのでしょうか

Crystal Clear

I1は粒子の運動エネルギーに対応する作用で、これの粒子の座標に関する変分から粒子の運動方程式(測地線)が得られます。

I2は重力場のエネルギーに対応する作用で、計量gに関する変分から、重力場の方程式(アインシュタイン方程式)が得られます。
ただ、上の画像のI2だと真空の重力場の方程式になるので、I2に物質場のエネルギーさらに宇宙定数のエネルギーに対応する項を加えると、通常のアインシュタイン方程式が得られます。

Crystal Clear

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E4%BD%9C%E7%94%A8