Question

香菇

請問一下到第n項那個要怎麼算

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11. 用五種不同顏色塗下列各圖,同色不相鄰,顏色可重複使用,塗法各有多少種?
4100(k-1) (-1)" + (k-1)"
10人 A|B
12/22
*
0
o
n
3
F F
C
4
E|D
6.
5/5
FELICE

集合與計數原理

Answer 1

o

找遞迴關係式求一般項
a_1 = 5, a_2 = 5 * 4
a_3 塗 ABC 三塊可以有兩種可能：
1. AB 同色：a_1 * 4
2. AB 不同色：a_2 * 3
所以 a_3 = 3a_2 + 4a_1 = 60 + 20 = 80
再觀察 a_4 (ABCD四塊)也是兩種情況
有點像是把塗好的a_3打開再插一個色塊進去：
1. AC 同：a_2 * 4
2. AC 不同：a_3 * 3
a_4 = 240 + 80 = 320
歸納出 <a_n> = 3a_(n-1) +4a_(n-2), a_1 = 5, a_2 = 20
再來解它特徵方程式(有興趣自己查)
x^2 - 3x - 4 = 0
x = 4, -1
令 <a_n> = p * 4^n + q * (-1)^n
解聯立{ a_3 = 80 = 64p - q ; a_4 = 320 = 256p + q }
320p = 400, p = 5/4, q = 0
<a_n> = 5/4 * 4^n, for all n >= 3
a_1, a_2 代入檢查也符合上式
故 <a_n> = 5/4 * 4^n, for all n >= 1