✨ 最佳解答 ✨
非常におしい考え方をしてますね。まだ積分を習っていないかも知れませんが、
大学では x = vt ではなく𝒙 = ∫𝒗dt と習います
この式は,𝒗をtで掛けるのではなく,tで積分しており,
この式こそが,どのような運動の時も成立します。
それぞれの式は積分を使って導出でき
等速直線運動の場合
𝒙 = ∫𝒗dt = vt
等加速度直線運動の場合
𝒙 = ∫𝒗dt = ∫(v₀+at)dt = v₀t +1/2･at²
いずれも高校の教科書と同じ式になっています。
高校物理では 積分 を取り扱っていないので、物理法則の説明にどうしても無理が生じてしまいます。これは仕方がないことなので、我慢するしかありません。
訂正です。
誤「定積分によって得られるのは」
正「積分によって得られるのは」
「同じように等加速度運動をしている物体の変位を"一瞬の変化量"の合計と考えてみます。すると瞬間においてはx=vtが成り立ちます。」
ここなのですが、"一瞬"だから
「vは変化せず,一定とみなせ、x=vt が成立する」
という認識ですか？
そのあとに、vの変化量を考慮するために
v = v₀+at を代入したという感じでしょうか？
その通りです。
変化量に着目するのは素晴らしい考えです。
しかし、同じ瞬間(短い時間)での、速度の変化は無いとみなすのに、位置の変化はあるとみなして考察するのは少し不可解ですね。実際に等加速度直線運動で「微小時間における速度変化は限りなく小さい」としてしまうのは、近似としては不十分です。
むしろ、
どちらの変化もあるとみなして考察した方が
より精度の高い計算結果が得られると思いませんか？
微小時間における [微小時間における加速度の変化の合計] の変化の合計として,位置𝒓は与えられます
𝒓 = ∫ (∫𝒂dt)dt
= ∫ (𝒗₀+𝒂t)dt
= 𝒓₀ + 𝒗₀t + 1/2･𝒂t²
ここで𝒓₀は初期位置(t=0での位置)で
𝒓-𝒓₀は変位𝒙を表すので、𝒓-𝒓₀ = 𝒙 としてしまえば
𝒙 = 𝒗₀t +1/2･𝒂t² が導出されます
申し訳ないです。
やはり僕には決定的な理由がわかりませんでした。
しかし、仰られたように、変化すると見る情報と変化しないと見る情報とを根拠を持って区別できないことに原因がありそうだと思いました。
この3日間悩んでそれでも解決できなかったので、とりあえず僕の中でこの問題はお蔵入りとし、学習を進めることを優先することにします。
幸いなことに公式が正しいであろうという思いがこの機会を通して更に強くなったので、今回の疑問が今後の学習に支障をきたすことはないと思われます。
根拠を持たない論理展開や曖昧な考え方をする僕を説得することは難しかったことと思います。それでもここまで丁寧に付き合ってくださったこと、嬉しかったです。
ありがとうございました！
それって0からtまでの定積分とも言えませんか？
もしそう言えるなら、面積を求めるという点では教科書のやり方と同じものですが、積分を用いれば寧ろ僕の考えが成り立たないことに違和感が増してしまいます。
積分というのを微分の逆と捉えたとき、定積分によって得られるのは(tで積分する時はt以下の範囲における全ての)"一瞬の変化量"の合計だと言えると思うんです。
定積分の操作では例の公式が得られるわけですから、同じように等加速度運動をしている物体の変位を"一瞬の変化量"の合計と考えてみます。すると瞬間においてはx=vtが成り立ちます。vが時間によって変化するものであることを考慮してv=v₀+atを代入すれば、x=v₀t+at²となります。
結構自分の主観というか、確実な根拠もなしに論を進めてしまっていて、多分それが原因で変な結論になっているので、もし不可解な論理展開があれば教えてください。