基本例題 41 万有引力による位置エネルギー
ト196,197
地球の表面から速さ voで鉛直上方に物体を発射したとき, 到達する最大の高さんを
考える。地球の半径をR, 地球上での重力加速度の大きさをgとする。
(1) 万有引力による位置エネルギーを考え, voをの, R, hで表せ。
(2) んがRに比べて十分に小さいとき, voはどのように表されるか。
(3) voを大きくすると, 物体は地球上にもどらなくなる。このとき,
voはいくら以上にすればよいか。 g, R で表せ。
Vo
R
指針 万有引力定数G, 地球の質量Mが問題文に与えられていないので, 「GM=gR°」を用いて
9, Rで表す。
解答 (1) 物体の質量をmとする。力学的エネルギー保存則より
2+
-m Vo'
Mm
G-
R
Mm
-G
R+h,
(G:万有引力定数, M: 地球の質量)
GMm R+h-R_GMm__h
R+h
GMm
GMm
GMm
R
1
ニ
R
R+h
R
R+h,
R
R+h
R
|2gRh
VR+h
h
ここで GM=gR°より mu3=£R**m
よって Vo=
R
R+h
2gRh
Vo=。
V R+h
2gh
h
1+
R
(2)んがRに比べて十分に小さいとき, =0 より
=/2gh
ニ
R
