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大学入試問題に挑戦⑤
3 [改訂版メジアンIIAB受 慶応義塾大] HAR
三角形ABCにおいて, AB=5, AC=4であり, ∠A の大きさが ∠Bの大きさの2倍
であるとする。 このときBCを求めよ。
5
A.
<Aを二等分にする線とBCとの
交点をDとする。
また、∠DBA=<BADが等しいので
BD=DA=⑤
また、△ABCと△ADCにおいて
内角と外角の関係より、∠BAC=∠DPA+∠CAB=∠ADC・・・・
また、∠ACD=∠ACB・・②(重なっている)
よって△ABCNADAC」
よって、AB:BC=
DA:AC
5:⑨ ⑤:4
20×
10
9
平
ク
AB=BC=DA:AC
←
ABxAC=BCxPA
BCをxとすると、
BD=DA=
9
5×4=x)(
20
=
36 =
x² →
x =
±6
xプより、
x =
6

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[シニアII[AB受 学習院大]
三角形ABC は AB=5, AC=6,BC=7 を満たすとする。辺 AB上に点P をとり,『<
AP=t とおく (0<t<5)。また,辺ACのCの側への延長上に点Q を,三角形 ABCの
面積と三角形 APQ の面積が等しくなるようにとり, BC と PQ の交点を M とする。
BM の長さおよびAQ の長さをt で表せ。
B
Y
5
比で考える。AP:PB=AC=AQ
AQをyとし、coをy-6とすると、
t=5=6:y
30ty
品
y-6
モ
y → AQ
また、BM=x MCをワーXとする。
AP:AB=PC=BP= MC:BMとなる。
よって
t = 5 = (7-x )=x
(7-x)=x.
tx=35-5x
7 35-52
t
こ
→
xx+5x-35
x(大+5)-35
x=
35
*+5

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1 [2013 名城大]
>0 とするとき、 3辺の長さが a, a',
となる三角形が存在するのは,
<a<
のときである。
この場合が考えられる。
a³+ a² >d
a+93 > a².
<①の場合>
atazza →
a348-0-0
alata-1) = 0
D=(-1+4=570
2
-1-1-70 -17<a
なので、
<②の場合>
7a
<正当>
ara³ >a² →
al1ta-a)70
ata-d70
となり、
(1。一1
ala-a+1) 70
D=(1-4-3<0.→解なし
2
1は、a、da3のときの値が等しくなるので、変わらない。
よって、1を基準に計算する。
(1) Ocaslのとき
のは分数となるので
これを解くとこは壮
aa37aaをあってみる。
→ a+a² > 1 aza-170
979-170
→
2
->a
よって
-1-550
-1+55
よくac1
(ii)
a=1のとき、前に書いたとおり、すべて化となる。よって正三角形となり 001_
a7lのとき、
atara→aをわる。→1+aza

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② [2013スタンダードIIAB受 群馬大]
3辺の長さが a,b,c (ab≧c)の直角三角形の外接円の半径が12,内接する円の半径
が1/12 のとき, a,b,cの値を求めよ。
A
a
E
・X
a=半径が3なので
直径は1/2×2=3
b=円の接線同士なので、口からの垂線と
abcで交わった点をA.B.C また三角形の頂点を
DEFとすると、
DB=DA、BF=CFとなる。
DB=xBF=
3-xとすると、
AE=EC=CO=AOは共に1/2なので
これを三平方の定理にあてはめると、
(土+x)+((3-x)+)=3
→
x²+x+7+49-7x+x²+9
6+63-28
4
6±2
4
2
(x+1)+(ヨー×3=3+
り
→ (x²+x+4) + (9-7x+x³) =
34匹+1/2=41.52
よって6=
C =
3-34丘
3-3+1
-a²+a+170
4+√52
2
25.
2x6x+2/2=9
4x-12x+25=18-
4x²-12x+7=0
x70なので 34.
(3+) 3-№√2
a-a-lco →
11√ √11774
2
よって
15
=
｢くの
La
よって
1
これをとくと、
よって
37√2
+1-55
1 << Its
2
→x
4-√2
5 << 1+55
①、②より、
よって、二ヶ
くのく
2

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3 [2012スタンダードⅠⅡAB受 静岡大]
△ABCの辺 BC 上に点D, 辺 AC上に点Eがあり、四角形ABDEが円に内接して
6
42
いる。 AE=DE, AB=
AC=14, BD = であるとき
'
5
(1) 線分AE と線分 CD の長さを求めよ。
(2)円の半径を求めよ。
(1)△ABCとADECにおいて、
∠ACB=CDCE
⑦(共通)
14
また口ABDEは円に内接しており、内角と外角の
関係により、∠ABC=∠PEC…②
②より、△ABC VODEC ロ
AB:AC=DC:DEよってDC:DE=
900 これと32.52と表すと、(すべきの定理)
52(52+号)=14(14-32)
196-428
=2582+62
258+488-196=0
(Z-2) (258+98)=0
-2
25x
198
2
270なので
z=2.
よってAE=2×3
CD=2x5.
6、8、10、から
(2) CEの長さは、14-6=8
△ABCは直角三角形である。
よって∠ABC=∠AED=90°となる。
よって円の半径はADさんとなり、これを三平方の定理で
求めると、
36+36=72 AD AD-6.2
よって半径は6.2+2=
3.52

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4 [2012 スタンダードIIIAB受 法政大]
四角形ABCD が辺 AB を直径とする円に内接している。 AB=10,BC=6であり,2
つの線分 AC, BD の交点をEとおく。 AE: EC=3:1のとき,
BE
であ
DE
る。 また, △ABE の面積は
△CDE の面積は
である。
10
B
[ABを直径としているSABC
なので、∠ACBは直角三角形。
よって、三平方の定理(そもそも
直角三角形の公式)より、AC-8
よってAF=6
C=2
また、SECBも直角三角形となる。
2
よって
62+2=BF=40
すべきの定理より、
6×2=
12
12
1
7)
250×
BE
1
2570
2570 x
1250
3570
20
BE:DE=2510: 3√70
3570
10
10:3
よって
a/
よって、
EA:ECの比は3"
8×6×2=
なので、
比で考える
24
24×
18
イ
4
そしてあまりの△BCEの面積は24×
6.
3
6x Fo

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1 [四訂版シニアIIAB受 関西大]
△ABCの外接円は △A 'B'C' の外接円と一致し、かつA= ∠CAB=50°,
B=∠ABC=60°である。
直線 AA', BB', CC' がいずれも △ABCの内心を通るとき, A' (= ∠C'A'B'),
B' (= ∠A'B'C) を求めよ。
<A= <BAC 50°+75.
B
A'
25/25
内心なので、<BAA=∠AAC
250 (50+2)
また、ABより、∠BAA=∠BBA
・250
そして、∠B= ∠CBA-
60°なら、
<Aと同様、<CBB=∠ABB=30°(60÷2
より、∠ABB=∠AAB'=30°となる。
また、残りの∠C=∠ACB = (80-150+60)=
70°なら、
<AとCBと同様∠ACC=LCCB=35(70+2)
CA +4. LACC = LAA'C' = 35°
CBより、LCCB=∠CBB=350
よって∠A=∠AAB+LAA'C=35+30-650
CB=LCBB+∠BBA=35+25F600

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2 [キートレーニングIIIAB受 東洋大]
直角三角形ABCにおいて, AB=3,AC=5,BC=4
である。 図のように, 半径rの2つの円が互いに外接
し、一方の円は辺 AB, AC と,もう一方の円は辺
AC, BC と接している。 このとき, rの値を求めよ。
DABCの中にもう1つ直角三角形
£ € 4
(△ABCと相似の)をつくる。
線分AC上にある2つの円の半径の
合計は2ヶ.
これが⑤となるので、
=
2+x 5 =
//=
2 25
rx = 1/3となる。
それぞれの円の接線をD、E、F、Gとする。
と、
AD=
3-1.
EC=
4-1/2
13
となり、
円の接線の関係から、AD=AF、
ELGCとなるので
ACの合計の長さは、
これを計算すると、
(3-1)+2r+(4-1)-5
7-5r=5
1r=-2
2
5
r
2
Jlv x