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R.3 1月進研記述高2模試@自学 B8 実数x, y は, 等式 42 +1 = 22y+2 を満たす。 yは,等式 (1) yをxを用いて表せ。 (2) 不等式 log2(x-1)(x-2)≦1+ log2(x-1)……① を解け。 (3) αは定数で, α > 4とする。 (2)の不等式①を満たすxの値 の範囲において, 関数 z = (log, x)(a-log2 y)の最大値が 9であるようなαの値を求めよ。 (配点 40)
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自学 (1) 4x2+1 =22y+2 底を2にすると (22)²+1 = 22 2y+2 22(x2+1)= 22y+2 指数部分が等しいから 2(x2+1)= 2y +2 よって y=x2
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自学 (2) log2(x-1)(x-2)≦1+10g2(x-1) Oxの範囲を求める。 ・① 真数は正だから (x-1)(x-2) > 0 かつ x-1> 0 x<1,2<x かつ 1 <x よって x >2 ※ ○不等式①を解く。 右辺を底2にすると log2(x-1)(x-2) ≦ log2 2 + log2(x-1) 右辺をひとつにまとめると log2(x-1)(x-2)≦log22(x-1) (x-1)(x-2)≦2(x-1) 底2>1より 展開して整理すると (x-4)(x-1)≦0 1≦x≦4 よって これと条件※より 2<x≦4
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自学 (3)a>4, z= = (logx)(a-logy) (2<x≦4) O関数 zを底2で変換する。 log2 V2 2log, x, log, y = log2 x2 = 2log2 x log2 x log√ √5 x = = より z = 2log2 x(a-210g2x) =-4(log, x)2 +2a log2 X (1)より ○ log2 x = t とおく。 2 <x≦4より log2 2 <log, x≦log2 4 だから1<t≦2……※※ O 関数 z を tで表して※※における最大値を求める。 z = -4t2 +2at a =-4(t--)2 + 4 a² a 4 >1に注意して場合分け
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(3) つづき ア軸が定義域の中 イ軸が定義域より右に分けてみます。 ア : 1 < <d≦2 すなわち 4<a≦8 のとき 4 a2 関数 zは頂点のy座標が最大値となるので = 4 条件より a = 6 ①:2 <- すなわち 8<a のとき 4 関数 zはt=2のとき最大値をとるので 25 4a-16=9 a = - は条件を満たさないので不適。 4 a4 だから ありえない t=1 t=2 t=1 t=2 t=1 t=2
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