ページ3:

(2) 前半
An+1
=
= pa +3①
n
① に n=1を代入すると
① に n=2を代入すると
a3-a = 15 より
a₁ = 2
a₂ =pxa +3=2p+3
a₁ = pxα₂+3= px (2p+3)+3
2
=2p² +3p+3
2
(2 p² +3p+3)-2=15
2p²+3p-14=0
(2p+7)(p-2) = 0
p>0より
P = 2

ページ4:

(2) 後半
p=2のとき
a
In+1=2an
+3
②の特殊解をα とおいて特性方程式を解くと
a = 2x +3
②
特殊解型の漸化式
a=-3
よって、②は
ant1
+3=2(a,+3)
am+1 +3 = 2(a +3) ...... ③
n
a+3=b とおくと③はb,+1=2b, b,=2+3=5
よって、数列{b,}は初項5、公比2の等比数列だから
b =5.2"-1
n
元に戻すと
an+3=5.2-1
したがって
an
=5.2"-1-3 圏

ページ5:

(3)(2)より a = 5.2"-1-3
ここで
n
k(ak +3)=5.k. 2-1
(等差数列) × (等比数列) 型
5は後回しに
S=k.2k-1とすると公比をかけて引き算
k=1
2
S, =1.2° +2.2' +3.2 + … +(n−1). 2-2 + n. 2"-1
n
-) 25 =
n
1.2' +2.22 +･･･
n-1
+ (n-2).2"-2 + (n − 1) · 2″¯¹ + n ⋅ 2"
.
- S = 1
2
+2' + + +2'
n-2
...
n
+2"-1
- n.2"
初項2・公比2・項数n-1の等比数列の和
2(2n-1-1)
=1+
n. •2"
2-1
よって
= (1-n) 2"-1
.
S=(n-1) 2" +1
n
したがって 2k(ak+3) = 5Sm
k=1
=
5(n-1) 2"+5