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高校2年生からの質問 -三角関数の最大・最小一 2学期期末考査対策 1 次の関数の最大値、最小値があればそれを求めよ。 また, そのときの日の値を求めよ。 (1) y=-sin0-2 (2) y = cos² 0 + sin ə (3) y = tan20 + 2 tan 0 +3 (0 ≤ 0 ≤ π ) (0≦02) ( —-—— <0 <1) 2 2
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(1)不等式変形 考え方の例 → 01 ...... ① 0 ▷O≦a≦π ▷ ① は ○ 最大:sin0=1(日 - 兀T 2 ○最小: sin0=0(0=0, π) 向きに注意 ▷ ①の辺々に-1をかける 0≧-sin0≧-1 ...... ② ②の辺々に-2を加える 0-2≧-sin0-2≧-1-2 -2≦y≦-3 π 筴 yは 0=0, πで最大値-20=ーで最小値-3 圈 2 をとる。
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考え方の例 (2) sine だけで表す 文字で置きかえて2次関数に帰着 y = cos2 0 + sin 日 =(1-sin20) + sin 0 =-sin 20+ sin 0 +1 ~t=sin0(-1≦t ≦1) とおく ~ =-f2 +t+1 -1 5 4, 1 2 -1 5 -(t - 頂点( 2)上に凸の放物線 4 2 5 ▷t = 一のとき最大値y= 2 4 元に戻して 1 兀T 5 -> t = sin0 = より0= π , 0を求める 2 6 6 t = -1のとき最小値y=-(-1)^+ (−1)+1= -1 →> t = sin0 = -1より 0 = 3 2 π yは 日 = をとる。 π 6 , 5 6 5 πで最大値 4 3 =- 2 で最小値-1 劄
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考え方の例 (3) tane の値はすべての実数をとる。 ▷ y = tan20 + 2 tan 0 + 3 ~t=tan0(t:すべて実数)~ = 12 + 2t+3 2 -1 =(t+1)^ + 2 頂点(-1, 2) 下に凸の放物線凸 ▷ t = -1で最小値2をとり、最大値はない。 → f=tan0=-1(-<0<^^)より 0 2 -のとき最小値2 T yは 0 = 4 をとり, 最大値はない。 圏 2 T 4 右半分で 考える -1T 1
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