ページ1:

*空間向量的內積 ☆後續內容需先熟悉平面向量
設ă= (a1,a2,93),字=(b,b2,b3)為空間中的兩向量,其夾角為日,
則與下的內積為:(1).=|||(oso
(2) 2.1 = aib₁ + axb₂+ a3b3,
當方式古為零向量時,定義.台20
=
Ex:已知空間中三點A(3,-2,4)、B(4,-1.6),C(4-4,3),試求:
(2) <BAC
(1) AB · AC
AC = ( 4-3,-4-(-2), 3-4) = ( 1,-2,−1)
Sol: AB = (4-3-1-(-2), 6-4) = (1,1,2), AC
ABAC=1x1+1x(-2)+2x(-1)= --3,
AB AC = |AB||A| cos <BAC
x
7 -3 = √171722 × 1 = (-2)² + (1) ² * Los <BAC
2x
7-356-56 Los <BAC = -3=6.co3LBAC & COS<BAC = - Z
<BAC=120°

ページ2:

Ex: 右圖為一正立方體,已知A.B均為所在邊上的中點,C為所在面
正方形的中心,若此正立方體的邊長為2,求<ABC=?
Tip: 建立空間坐標,再以內積求出
C
-B
30l:
Z
建立空間坐標後,可知A(2,1,0),B(2,2,1)
A
C(1,1,2),所求∠ABC。
By
BA = (0,-1,-1), BC = (-1,-1,1)
(3,2,1)
A
=
BA BC BALOS LABC
x
(2,1,0)
⇒ 0 = 52. 53. cOS LABC = COSLABC = 0 = LABC = 90°
*向量內積的性質
設定為空間中任意向量,且r為實數,則:
(1) α⋅ b = 5·ā
(2) 22 = 12/2
(3) (a+b). c = a.c+b.c
(+) (ra) = a. (r) = r (2·5)
(5)
若,則ā.= 0
a
a
ㄜ,則上古
(ă為非ò)

ページ3:

*正射影
Z
設下為空間中兩向量,在官上的正射影為之,
則:=()后,其中富
0
。
a
y
9-c
ā可分解成兩個互相垂直的分量它與一
(2/162-21)
10
Ex:已知空間中兩向量=(3,4,5),古:(10,5,10),試將下表示成垂直
與平行的兩個向量之和。
Tip: 注意這題是在上的正射影(表示成+(一))
Sol
50l: ① 古在上的正射影:()
②
6- c = (10,5, 10) - (6,8,10)
二(4,-3,0)
30+20+50
3452 (3,4,5)
1
100
=
50
- (3,4,5)
=
(6,8,10)←
1
因此可將言表示成:0=(4-3,0)+(6,8,107枚
b
10
1
10
一
15
a
10

ページ4:

* 柯西不等式
設=(a,a2,93)、古=(b1,b2,b3)為空間中兩非零向量,則:
(1)向量形式:1.
當下時,等號成立,即器
92-93
63
2
(2)- 23 (9₁ = az²+ A3 ²) (b₁²+ b²² + b3 ² ) » (a, b, +azbz + as b³)²
Ex:已知實數x,y,z滿足X²+4474239,求x+44-42的最大值與最小值,
w
及此時的小区。 (24)2(22)2
sol:柯西不等式:(a.²razias²) (b+b=²+bs²)=(a,b+azbz+a3b3) 2
+
(x²+(y)+(28)³) (1+2²+(-2)²)» (x+4y-42)²
7 9 × 9 » (x+4y-42)²
x
2-9≤x+y-43≤9←找到最小值-9.最大值9
等號成立時,信,即望,可令x=t,y=t, z=t,
2
2
2
¾³ x=t, y=t, z = -t πt > x²+4y²+ 42² = 9 + 14, 11 t = ±1
當七=1時,x=1,y=1,Z=-1,有最大值9
七=-1時,x=-1,y=-1,2=1,有最小值-94

ページ5:

92).
高二下數A
空間向量4
外積

ページ6:

* 外積的意義
數學上的「外積」來自於物理中的「力矩」,與下的外積記作「字」
力矩具有太小與方向,外積也是,故外積是一向量。(內積是純量)」
5
讀作à crossg
sing
0
中間的X不是乘
Y
力矩大小=力臂x施力大小
= ||||sino
外積的大小=1sine
C
1
0
外積的大小
二下和戶以夾角日所張成的平行四邊形面積
EP | | = ||||sind
rx
à和方為兩不平行的向量,滿足之家,它字,
稱它為ǎ與方的公垂向量。(公垂向量不唯一)
力矩的方向即外積的方向,也就是它,
ǎx古的方向為它

ページ7:

*外積的計算
找出公垂向量的坐標表示法:
310
目標
¾½ α = (a1, a2, a3). b (b₁, b₂, bs), ~= (x 1.2)
因它且它上方(向量垂直內積=0)
9.x+azy+a3Z=0
bix+by+b3z=0.
0 = 121221
X,Y,Z Bitt → (x,y,z):
bz
,
△x =
1-a3z az
1-632 bz
92
bi bz
-Q3Z-b3Z
{a₁x+ a2y = -a3Z
| bix+bzy=-b3E 常數,再用克拉瑪公式
1-93292
1-632 92 | y= | 01 - 932 1
a1-932
bi-b3z
91 92
丿
bi bz
,
=
az az
bz b3
丿
1633911
91 92
bi bz
汝
提出已後同÷区,
92
同乘以1:21
「將行列式中的負號提出
124621 = (1 9293) 193 911 191 9² \)
b3
6361
92
62
t
一倍的公垂向量

ページ8:

a = (a₁, 92, 93), b = (b₁, bz, b³), a to by
93
b3
axx = (1 22 231, 123 a11, 121921),
91
bil
1à x1 = à和它所决定的平行四邊形面積。
a az az 91 02 03
X X X
bi bz b3 by bz b3
Ex:已知空間中兩向量=(1,-1,0),2=(0.2.4),求和它的外積àxi
-10
Sol: x-(24), 80, 102) = (-4,-4, 2)
ax = 40
EX:空間中,已知A(1,2,3),B(2,3,4),C(4,3,2)三點,求△ABC的面積
Tip: △ABC的面積=店,衣所張成的平行四邊形面積的一半。
Sol: AB = (1,1,1), AC = (3,1,-1)
ABX AC = (1-11, 131B
AC
=(-2,4,-2)
A
B
AB
平行四邊形面積=[x]=f(z)+()=24=256,△ABC=2x256=56.
#

ページ9:

ax b
* 外積的性質
a
若之,古為空間中兩非零向量,夾角為日,則:
(1) |ax| = |~||5| Sino
(1) a = |2|15) cos
(2)
(2) ax b = - (6xα)
(3) (àx言)且(x)(3)
外積平行於不言公垂向量
(4) à ll T <-> ãx b = 0
10
15
(4)向量平行,外積為0
Ex: 20 a = (2,1,1), b = (1,1,-2), CLα, CLb. A |c|= 13. 11 6
仰:外積平行於公垂向量,即=t(x)
Sol: 2×6= ( | 1 - 2 | | -27 |, |27||) = (3,3,3)
b
// (x6) = = t (3,3,3) = (3t, 3t, 3t)
ax
|` |= ](3t)¥(3t²)+(3t)² = √27t² = |34|__ 30 stor
→√3 = 134√√3 = ± 1
因此:(1,1,1)或(-1,-1,-1)

ページ10:

*平行六面體的體積
I
h
a
10
┣
T
一吋
平行六面體是一柱體,柱體的體積=底面積x高
底面積為六、官張成的平行四邊形面積,即1àx1,
高為11:140501,因此平行六面體體積為:
V = 底面積x高 = Sxh
= |2x5||||coso |
六、古,它的順序不影響結果← = 1.(ax)(又稱三重積)
Ex:求空間向量=(1,2,3),F=(21,5),=(1,0,-3)所決定的平行六面體體積
Tip: 先外積,再內積
à
23
sol. x5 = ( 1731, 1321, 1221) = (7.1-3)
5
|-(ax)| = | (1.0.-3)-(7,1,-3)| = |7+0+9)=16