ページ1:

数に関する問題①
ある数xに 3 を加えて2乗するところを, xに3を加えて2倍して
しまいましたが, 答えは同じになりました。 xの値は?
数に関する問題②
2つの続いた正の整数があり,小さいほうの整数を2乗したものは
大きいほうの整数を7倍したものより1だけ大きくなります。この2
つの整数は?
数に関する問題 ③
大小2つの整数があります。 その差は8で積は84 です。 この2つ
の整数は?
数に関する問題 ④
ある数 x を 2 乗するところを,2倍したために計算の結果は 35 だけ
小さくなりました。 xの値は?
数に関する問題 ⑤
3つの続いた整数があります。それぞれの整数を 2 乗し, それらの
和を計算すると302 になりました。この3つの続いた整数は?
数に関する問題 ⑥
連続する3つの自然数があり, 中央の数の9倍は,最も小さい数と
最も大きい数の積から9をひいた数に等しくなります。このとき, 中央
の数は?

ページ2:

数に関する問題⑦
連続した3つの正の整数があり, 最も小さい数と真ん中の数の和の
3倍は,最も大きい数の2乗より64 小さくなります。 この連続した3
つの正の整数は?
カレンダー問題 ①
右のカレンダーのある数をxとし,xの
右隣の数と, xのすぐ下の数をかけると,
xに 14 をかけて2を加えた数と等しく
なります。
日 月 火 水 木 金 土
1
2
土 3
4 5 6 7
8
9 10
11 12 13
14
15
16 17
18 19 20
21
22 23 24
xの値は?
25 26 27
28 29 30 31
カレンダー問題②
右のカレンダーで, 図のように4つの数
を口で囲んだとき, 左上の数と右下の数
の積と, 右上の数と左下の数の積の和を
計算したとき, その結果が367 となると
きの, 左上にある数は?
月 火 水 木 金 土
1
2
3 4 5
6
7 8
9
10 11 12
13 14 15 16
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
17 18 19
図の例: 6×14 +7×13=175
カレンダー問題 ③
右の図のカレンダーで, ある日の数を
xとします。 xの2乗と, xの真上に
ある数の2乗の和は, xの右隣にある
数の2乗と等しくなります。
日 月 火 水 木 金 土
1
2 3 4 5 6 7
8
9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
ある日は何日?
22 23 24 25 26 27 28

ページ3:

土地と花壇の問題 ①
横が縦より2m 長い長方形の土地があり
ます。この土地に, 図のように同じ幅の道
をつくり,残りの4つの長方形の土地を
花壇にします。
道幅が1m, 4つの花壇の面積の合計が
35m²のとき,この土地の縦の長さは何m?
土地と花壇の問題②
縦の長さが 18m, 横の長さが22mの
長方形の土地に, 図のように幅の等しい
道と4つの長方形の花壇をつくります。
4つの花壇の面積の合計が320m²に
なるとき,道の幅は何m?
容積の問題 ①
図 1
24cm
12cm
図2
高さ
図1のような長方形の紙を切り取って図2のようなふたつきの直方体
の容器をつくりました。 この容器の底面積が32cm²であるとき, 容器
の高さは何cm?

ページ4:

容積の問題②
縦10cm, 横16cmの長方形の
厚紙の4すみから, 1辺の長さ
がXcmの正方形を切り取り,
ふたのない直方体の容器をつ
くります。この容器の底面積が
40cm²となるとき,この容器の容積は何cm?
容積の問題③
横が縦より 2cm 長い長方形の紙が
あります。この紙の4 すみから1辺
が4cmの正方形を切り取り, 直方体
の容器をつくったら, 容積が 96cm
になりました。もとの長方形の縦の
長さは何cm?
容積の問題 ④
厚さが1cmの板でできている
直方体の形をした容器があり
ます。この容器の横の長さは,
縦の長さより2cm長く, 400cm3
の水を入れたところ, 水の深さは
5cmになりました。
この容器の縦と横の長さはそれ
ぞれ何cm??

ページ5:

動点の問題 ①
図のような1辺が10cmの正方形
ABCD で, 点PはAを出発して辺
AB 上を B まで毎秒2cmの速さで
動き, 点 Q は点Pが出発するのと
同時にDを出発し,Pと同じ速さで
辺DA上をAまで動きます。
A
←l
D
P
△APQ=8cm²となるのは、点Pが
Aを出発してから何秒後?
B
C
動点の問題 ②
図のような直角二等辺三角形ABC
で,点PはBを出発して辺BC 上を
Cまで動きます。
辺 AB, AC 上にそれぞれ点 Q, R を
四角形 PCRQ が長方形になるように
とります。
長方形 PCRQの面積が△ABCの
B
面積の3になるのは,点PがB から
何cm 動いたとき??
P→
6cm
動点の問題 ③
図のような、 DH=HE=6cm,
EF=12cmの直方体で、点Pは
辺 EF 上を毎秒2cm の速さで
EからFまで移動します。また、
点 Q は、 辺 HE上を毎秒1cm
の速さで H からEまで移動します。
三角錐 AEPQの体積が 16cm
D
となるのは、点 P,Q が同時に
出発してから何秒後??
H
←o
C
B
【エ
E
→
F
A
R

ページ6:

【数に関する問題①】
式(x+3)²=(x+3)×2
展開して整理すると x2 +4x+3= 0
(x+1)(x+3)=0
したがって
x=-1, -3
これらは問題に適している。
答 -1とー3
【数に関する問題②】
2つの続いた正の整数のうち、 小さいほうをxとすると、大きいほうは x +1と表せるので
x2 =(x+1)×7+1
展開して整理すると x²-7x-8=0
したがって
(x-8)(x+1)=0
x=8, -1
x>0でなければならないので、 x=-1 は問題に適していない。
x = 8 は問題に適している。
x=8のとき、大きいほうの整数は8+1=9。
答 8 9
【数に関する問題③】
大小2つの整数のうち、小さいほうの整数をxとすると、大きいほうの整数は x + 8 と表せ、
これら2つの積が84だから
x(x+8)=84
展開して整理すると x 2 +8x-84=0
(x+14)(x-6)=0
したがて
x=-14, 6
x=-14のとき、大きいほうの整数は-14+8=-6
x=6 のとき、大きいほうの整数は6+8 = 14
これらは問題に適している。
答 -14と一6、6と14

ページ7:

【数に関する問題④】 x2 = 2x+35 → x²-2x-35=0
(x+5)(x-7)=0 → x=7, -5
【数に関する問題⑤】 (x-1)^+ x'+(x + 1) = 302
3x2=300
【数に関する問題⑥】 9x=(x-1)(x+1)-9
x=±10
答 9,10,11 -11, -10,-9
x2-9x-10=0 (x-10)(x+1)= 0
x=10, -1
xは自然数なので、x=-1は適さない。 答 10
【数に関する問題⑦】 (x-1+x)×3=(x+1)^-64
x²-4x-60=0
(x-10)(x+6) = 0
x>0より x=10
答 9, 10, 11
【カレンダー問題 ①】 (x+1)(x+7)= x×14+2
x2-6x+5=0 (x-1)(x-5)=0 → x=1,5
x(x+8)+(x+1)(x +7) = 367
【カレンダー問題②】 左上をxとすると
-> 2x2 +16x-360 = 0 →
x2 +8x -180=0
(x+18)(x-10) = 0
→ x=10, -18
答 10
【カレンダー問題③】 x2 +(x-7)²=(x+1)^x^-16x + 48 = 0
(x-12)(x-4) = 0
x=4, 12
4の真上には数字がないから適さない。
答 12日
真ん中をx
とする

ページ8:

【土地と花壇の問題 ①】
土地の縦をxとすると右図のようになるので
(x-3)(x-1)=35
x²-4x-32=0
(x-8)(x+4)=0
x>0より x=8
【土地と花壇の問題②】
道の幅をxとすると右図のようになるので
(18-x) (22-x) =320
x 2 -40x +396 = 320
x 2 - 40x + 76 = 0
(x-2)(x-38)=0
x < 18 より x=2
【容積の問題 ①】
高さをxとすると右図のように
なるので
答 8m
答 2m
X
(18-x)
(x+2)
(x-1)
(22-x)
図 1
-24cm
図2
24-2x
(12-2x)×
=32
12cm
X
2
(12-2x)(12-x)=32
X
24-2x
2x2 - 36x + 144 = 32
2x2-36x +112= 0
x²-18x + 56 = 0
(x-4)(x-14)=0
【容積の問題②】
x < 6 より x=4 答 4cm
(10-2x) (16-2x) = 40
4x2-52x+120= 0
x2-13x +30 = 0
(x-3)(x-10)= 0
(12-2x)
x < 5 より x=3
よって、 40×3 = 120 答 120cm
高
16-2x
10-2x

ページ9:

【容積の問題③】
縦を x とすると底面の縦と横は右図のようになるので
(x-8)(x-6)×4=96
x 2 -14x + 48 = 24
x2-14x + 24 = 0
(x-2)(x-12)=0
x > 8 より x=12
答 12cm
【容積の問題 ④】
容器の縦をxとすると、各長さは図のようになるので
(x-2)xx×5=400
5x2-10x-400 = 0
x-2-
x
x-8
x-6
x+2
x+2
x²-2x-80= 0
(x-10)(x+8) = 0
x 2 より x=10
答縦10cm 横12cm
10-2x
【動点の問題 ①】
A
←o
D
点PがAを出発してからx秒後の長さは右図のように
なるので
2.x
▼P
2x×(10-2x)+2=8
-2x2+10x-8=0
x2-5x+4=0
(x-1)(x-4)= 0
x=1, 4
B
答 1秒後,4秒後

ページ10:

【動点の問題②
点PがBからxcm 動いたときの各長さは図のようになるので
1
四角形 PCRQ= △ABC ×
3
xx(6-x)=(6×6÷2)x-
3
-x2+6x-6=0
x2-6x+6=0
6±√36-24
6±2√3
x =
=3±√3
2
2
3± √3 cm
【動点の問題③】
点P、 Q が出発してからx秒後の各長さは
QE = 6-x EP = 2x AE = 6
三角錐 AEPQの体積について方程式を立てると
(6-x)×2xx/xx/
これを解くと･････ x=2, 4
答 2秒後4秒後
B
X
A
x
R
6-x