ページ1:

No.
チェバの定理(三角形と1点の構図)-
△ABC 3辺BC、CA、ABまたはその延長上に前
それぞれ点P,Q,Rをとる。
↓
13直線AP、BQCRが1点で交わるとき条
以下の関係式が成立する。
DAR OBP
結果
共点を示す証明問題で重要!!
↑
チェバの定理の逆 (共点条件)
13点P,Q,Rの35.辺の延長上にある点(外分点)が
偶数個である。
回 3直線AP、BQ, CRのうち2本が交わる。
3 AR BP
CQ
=
RB
1 が成り立つ。
PC
QA
仮
定
⑤ CQ
②RB PC
⑥QA
イメージ
05.07
⑤
覚え方 点ABCは頂点
丁目)
なので
点P,Q,Rは分
①頂分
3直線AP、BQCRが1点で交わる←結論
(証明) ゴールから戻って考えてみる
(流れ) 3直線が1点で交わる」ゴール)
3本目の直線が直線の交点を通る」ことを示す。
分⑤頂分
「
スタート
頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点
一旦仮の3本目の直線を設定して、これが
実際の3本目の直線と一致している」ことを示す。
(解)
の
1筆書きの順で覚えておくとわかりやすい。
・点〇が三角形の内部 ・点〇が三角形の外部
頂点
①
6
(内)
(内)
Q分
分点 R
②
0
①
K
③
RB
AJR点
Q
R.
"
⑥
B
P/ (P)
2点 Q.Rがともに辺上にあるか、ともに辺の延長上
CD点
「分点
あるとする~
⑤
このとき点Pは辺BC上にある。
(補足)
-P
③
分
内
点
W
(外分点ロコの図]
頂
R
②
Q
点(外)(外分点1つの図)
3点PQR うち外分点がOコまたは1コ(偶数個)AR BP'
の構図→チェバの定理
(証明)は主に2パターンⅡ面積比の利用
2直線BQ,CRが点口で交わるとすると
直線AOは辺BCと交わる。
その交点を点P とおくと、チェバの定理より
ca
RB
P/C
QA
=1~2個の3本目の
直線
仮定より
(実際の3本目の直線)
今回はです。
(回メネラウスの定理を2回利用
AR BP
CQ
JAR
ADAC BP
RB
PC
QA
1 なので
AOAB CQ
AOBC
IRB ADBC
PC
ADACQA AOAB
[BPJ
BP
3式の辺々を掛け合わせて
IPC
[PC
~③
より
AR BP CQ AOAC ADABAOBC
=1
RB
PC
QA
AOBAO ACADAB
つまり
R
Q
P.P'はともに3BC上の点であり、P=P'
3直線AP、BQCRは点で交わる。
(補足)仮定回は①、③のみだと3直線AP、BQCR
しが平行になる可能性があるから。 6mm mod 6
B

ページ2:

No.
チェバの定理で求められる線分比
Date
メネラウスの定理で求められる線分比
共線を示す証明問題で重要!!
↑
メネラウスの定理(三角形と1直線構図) メネラウスの定理の逆(共線条件)
直線人が△ABCの3辺BC、CA.AB または
その延長上とそれぞれ点P,Q,Rで交わる。
このとき以下の関係式が成立する。↓
①AR. ③ BP ⑥cQ
QA
13点P,Q,Rのうち、辺の延長上にある点(外分点)
が奇数個である。
仮
回 ARBPcQ
RB PC
=1 が成り立つ。
1
②RB @ PC ⑥ QA
覚え方はチェバの定理と同様!!
3点P,Q,Rが1つの直線上にある←結論
・直線lと三角形が交わる ・直線lと三角形が交わらない(証明の流れ)
Q分
点
R
「3点P.QiRが1つの直線上にある」←ゴール
↑
頂点
・外分点1コの
①
図
②
R-
②
点
Q内分点
JA
D
コン
G
T
3点目が2点を通る直線上にある」ことを示す。
P
B
☆B
T
xp
頂点
頂点
(4)
③
スタート
③
一旦、仮の3点目を設定し、これが実際の
3点目と一致する」ことを示す。
頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点
解)
R
Q
これも様々な証明があるが、代表の1パターンは
①平行線による点の移動を利用
の順に一筆書きは同様!!(キツネが目印)
(補足)
3点P,Q,Rのうち外分点が1つまたは3コ(奇数個)
の構図→メネラウスの定理
B
P (PJ
C
2点QRがそれぞれCA、AB上にあるとする~の
このとき、点Pは辺BCの延長上にある
直線QRと辺BCの延長上交点をPとおく。
回 直角三角形の相似を利用
メネラウスの定理より
wwww
wwww
今回はで証明する。 (証明)
AR BP CQ
=1
(仮の3点目)
A
l
頂点を通るように直線l]
RB PC
QA
~②
R
と平行な直線を引いて
仮定より
Q
D
直線ABとの交点をDとする。 AR
BP
CQ
RB PC
QA
=1.-③(実際の3点目)
P
B
C
P.Pはともに辺BCの延長上の点であるので
△BPRにおいてCD/PRより
JR
(BP)
BR
←
PC
RD
B
△ADCにおいてRQ//DCより
BP BP
PC
P=P
PC
つまり3点P,Q,Rは1つの直線上
にある。
2点Q.Rがそれぞれ
CA、ABの延長上にあるとき
CQ
DR
=
Q.
A. RA
~②も同様である。
①.②より
・AR
BP
CQAR.
RB
PC
QARD RA

ページ3:

No.
(羃巾)
Date
(円および交わる2直線が関係する構図)
(おまけ) メネラウスの定理を用いてのチェバの定理の証明 方べきの定理 power
of
a point theorem
A
B
の
①
(6)
6
Q
R
R
②
⑤
B
C B
P ③
③
1 交点が円内の場合
B
AABPと1直線CRに対し、AACPと1直線BQに対し
メネラウスの定理より
ラウスの定理より
AR BCPQ1AQ, CB PO
RB CP QA
A÷Bより
AR BC
RO
RB CP DA
AQ CB RO
=1
ID
QC BP OA 12 交点が円外の場合
(少し泥くさく
A
PA・PB=PC・PD
PA-PB-PC-PD
QC
BP
OA
ARBE
RB
CP
AQ
CB
11
ac
BP
AR
AQ
Qc BP
AR QC BP
AQ・RB・CP
T
AR BP CQ
両辺 分子分母を
\X QC XBP × RBXCP.
D
P
③3 交点が円外で直線の一方が接線の場合
B
A
IPA-PB=PT"
順序を整理してみる
1
RB
・PC
QA
◎円条件
交点が円内で2直線が直交する場合
-1 円周角の定理の逆
→弦ABに対して円じ側にある1点P.Qについて
LAPB= ∠AQBが成立する→4点A.B.P.Qは
2 四角形が円に内接する条件
① 1組の対角の和が180°
同一円周上に存在 A.
②1つの内角がその対角の外角に等しい
PA・PB=PC・PD
PC=PD→PC-PA-PB
B
☐
D
☆ 話の間違いが多い!!
①②の一方が成立する四角形ABCDは円に内接する
4A,B,C,Dは同一円周上に存在
③方できの定理の逆
D1
どれも「直線の交点Pから直線と円の交点A,B,C,D
までの距離の種が等しい」
→(役立つ時)-
線分AB、CDがその線分上または延長線上にある点Pで
交わるとき PA・PB=PC・PDが成立する→4点A.B.C.Dは
同一円周上に存在
円と1点で交わる直線や接線を含む構図
で長さが問われていると
KOKUYO LOOSE LEAF ノ-836BK rm ruledx35tnes

ページ4:

いずれのパターンも相似な三角形があることを意識しておこう!!
D
1の証明
半径をとして
APBCとAPPA
CA
において
r-op
③の証明
APTAとAPBTにおいて
LPは共通角
r+OP
土
D
LLPTA = LPBT
(接弦定理)
なので
○:/CPB= ∠APD (対頂角)
x=/PBC=LPDA (円周角) A
14: LBCPLDAP (円周角)でもよい)
OP+h
○
A.
OP-F
P
T
2組の角がそれぞれ等しいからAPTA APBT
2組の角がそれぞれ等しいから←(三角形の相似条件)よってPT:PA=PB-PT より PA・PB=PT
APBC APDA~
よって
~1
PB= PD-PO-PAより
特に直線ABが直径となるとき、円の半径をとすると、
PA・PB=PC・PD←(方べきの定理の成立)
特に直線CDが直径となるとき、円の半径により
PC=r-op
LPD=r+oP
(代入
-op
図の証明
B
PA・PB=PC・PD=(r-op)(r+op)
OP-
APACとAPDBにおいて
LPは共通角
OP+h
O
D
LPAC-LPDB(円に内接する四角形ABCD
の内角と対角の外角)
なので
2組の角がそれぞれ等しいから
APACCOA PDB
よってPA:PC=PD=PB より
PA・PB=PC・PD(方べきの定理の成立)
特に直線CDが直径となるとき、円の半径をして
PA・PB=PC・PD-(OP-P) (OP+r)
PA PB= (OP-(OP+) = Op²= r²
PA-(OP-r)
(PB=(OP+r)
(10)(+)
またPA・PB= PT-OPよりOP=PThe
これは直角三角形PTOにおける三平方の定理
(LPTO=90°)
まとめ方の定理
①どの三角形がどんな理由で相似なのか理解すること
回 相似な三角形2つの比の等式を出せる
③方の定理が使用可能→隠れたもう一つの比の等式
が存在する!!
方べきの定理 相似な三角形を探す → 隠れた比の式が
ある
43パターンを統一(直線の一方が直径となる場合)
PA・PB=/OP
・PA・PBは2直線の交点Pと円の中心〇との巨離 および
円の半径で決まる!!!
定点を通る直線が定円と2点A.Bで交わるとする。
このとき任意の直線に対してPA・PBは一定値
10proをとる。
/PC=(OP-r)
PD=(OP+r)
=
T-OP-
代込