Question

Gitan

薄い球殻の慣性モーメントの求めかたがわかりません。私の大学では、高校の範囲で慣性モーメントを求めていて、友達曰く円環の慣性モーメントを利用して求めるみたいなのですが、求めきれませんでした。私はz軸をとったので、その方法で教えて欲しいです

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Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

Crystal Clear

球では極座標を用いるのがセオリーです.

(R,θ,φ),(R+dr,θ,φ),(R,θ+dθ,φ),(R,θ,φ+dφ),(R+dr,θ+dθ,φ),(R,θ+dθ,φ+dφ),(R+dr,θ,φ+dφ),(R+dr,θ+dθ,φ+dφ)で囲まれる領域の体積をdVとする.
dVの質量をdmとする.また球殻の密度をρとする.

dV=dr(Rdθ)(Rsinθdφ)=R^2 sinθ drdθdφ　(3辺の長さがdr,Rdθ,Rsinθdφ)
dm=ρdV=ρR^2 sinθ drdθdφ
M=∫∫dm
I=∫∫dm(Rsinθ)^2　(この領域のz軸からの距離はRsinθ)
である.

実際に計算をする.積分範囲はθ:0→π, φ:0→2π
M
=∫∫dm
=∫∫ρR^2 sinθ drdθdφ
=ρR^2 · 2 · 2π dr
=4πρR^2 dr ①

I
=∫∫dm(Rsinθ)^2
=∫∫ρR^4 (sinθ)^3 drdθdφ
=ρR^4 ·4/3·2π
=8/3 πρR^4 dr ②

①②より、I=2/3 MR^2