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a^2-b^2と言われたら反射的に(a+b)(a-b)という変形をします。
(a+b)(a-b)が素数という条件を考えます。ここで、素数の定義の確認です。
素数とは、1を除く1とその数自身のみを約数にもつ数です。つまり、素数をPとして、1×PかP×1という組み合わせ以外では表せないということになります。例えば合成数(素数でない数)の9は3×3というような組み合わせも考えられますが、7は1×7と7×1以外ありえないので素数です。
(a+b)(a-b)について、aとbは正の整数なので、aにbを足してるものとbを引いてるものでは、絶対a+bの方が大きくなりますね。つまりa+b>a-bですね。また、1より小さい正の整数はないのでP>1なので、a+bがPでa-bが1以外ないですね。
a+bは(1+1=)2以上(6+6=)12以下であり、ここに素数は2,3,5,7,11のみです。a-b=1よりa=1+bです。(bは1以上よりaは2以上)よってa+b=1+2bです。
1+2b=2→b=1/2→❌
1+2b=3→b=1→a=2
1+2b=5→b=2→a=3
1+2b=7→b=3→a=4
1+2b=11→b=5→a=6
よって、この4通りなので4/36=1/9だと思います
詳しくわかりやすくありがとうございます😭✨