Question

ブラック

この問題で、limの式のεに左の式を代入するとa=f’(x0)が条件だと解くことはできました。前半部分の「定数aが存在することとは同値である」というのがよくわからないです。意味と解答を教えて下さい。

微分

Answer 1

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gößt

説明のため
Δy=aΔx+ε, lim[Δx→0](ε/Δx)=0⋯(#)
とします

例えば、f(x)=x², x₀=1 の場合
a=2, ε=(x-1)²
とすれば(#)を満たします
一方、f(x)=|x|, x₀=0 の場合はどのようにa, εを設定しても(#)を満たしません。よって(#)を満たすaは存在しません

このように、f(x)とx₀に応じて(#)を満たすaは存在したりしなかったりするわけです。そして、(#)を満たすaが存在することとf(x)がx₀で微分可能であることが同値である、というのが問題文の意味です

ブラック

問題の意味は分かりました。
お願いします。

gößt

(証明)
(⇒)
f(x)がx=x₀で微分可能であるとき、
f'(x₀)=lim[Δx→0](Δy/Δx)
であるので
a=f'(x₀), ε=Δy-f'(x₀)Δx
とおけば
Δy=aΔx+ε
が成り立つ。さらに、
lim[Δx→0](ε/Δx)
=lim[Δx→0](Δy/Δx - f'(x₀))
=f'(x₀)-f'(x₀)
=0
よって(#)を満たすaが得られた

(⇐)
(#)を満たすaが存在するとき、
lim[Δx→0](ε/Δx)=0
より
lim[Δx→0]{(Δy-aΔx)/Δx}=0
lim[Δx→0](Δy/Δx - a)=0
lim[Δx→0](Δy/Δx)=a
よってf(x)はx=x₀で微分可能である

gößt

ここら辺は命題が分かりにくいのもあって証明を読んでもすぐには入ってこないかもしれません

ブラック

十分条件のaとεを導関数を用いて置くところが難しいです…
証明の流れは分かりました。ありがとうございました。

gößt

理解できたようでよかったです

a,εをおくところは、
a=f'(x₀)
だろうという考えがまずあって、その後
Δy=aΔx+ε
を満たすためには
ε=Δy-aΔx
=Δy-f'(x₀)Δx
とおくしかない、という考え方ですね

ブラック

なるほど。この問題は解説がないので助かりました。