Question

雙木林

想請教碰撞與能量的觀念：

問題1：不論是何種類型的碰撞，碰撞整個過程，系統動能的最小值必定為質心動能？

問題2：承1.，如果必定是質心動能，系統動能達到最小值時，碰撞的兩個物體的速率皆等於質心速率？(像是連接體？)

問題3：完全非彈性碰撞的系統動能會損耗，而質心動能會變化嗎？請說明

謝謝🙏

Answer 1

qn

1. 是的
這可以用柯西不等式證明（如圖一）
(因為 v'² 寫起來不好看，所以我用 ṽ 代表新速率)

2. 是的
參考前面柯西不等式的證明過程
等號成立於比例相等
也就是 √(mᵢ) vᵢ / √(mᵢ) = 定值
即 vᵢ 為定值
也就是完全非彈性碰撞

3. 不會
質心動能一定是 ½MV²
質量守恆 & 動量守恆 就能保證質心動能不變

更完整來說
多質點系統的動能可以拆成兩部分（如圖二）
一部分是質心動能
另一部分是內動能（如振動、轉動）
能量消耗在於內動能
質心動能則不變

qn

補充
除了柯西不等式
也可以用相圖來理解碰撞

將 x y 座標設定為 √m₁ v₁ 和 √m₂ v₂
這麼做的用意是
x² + y² 正好是動能的兩倍

而動量守恆可以化為這個座標下的直線關係
而碰撞就是從直線上的一點跳到另一點
(因為動量守恆，不能離開這條直線)
再觀察與原點距離就可以得到動能