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この文は仮定法の文で
until he got tired の部分まで含めた全体が
仮定法で書かれているから です。
ご質問のgotのあるuntil he got tiredの部分はとりあえず置いておいて、その前までだけで考えると
If I had enough time,I would play with my dog.
「十分な時間があれば、私の飼い犬と遊ぶのに」
（=十分な時間がないから、飼い犬と遊ばない）
ということで、仮定法過去の文になります。
で、until he got tired ですけども、
このheはたぶんmy dogのことですよね。
だからuntil he got tired は「飼い犬が疲れるまで」という意味ですが、
「飼い犬が疲れる」のは、私に時間があって飼い犬と遊ぶからです。
でも実際には、すでに書いた通り、「時間がないから飼い犬と遊ばない」のです。だから「飼い犬が疲れる」こともありませんよね。事実と反しています。
だから「飼い犬が疲れる」という部分も仮定法で書くべき内容になります。だからgetがgotになっています。
そこまで仮定法で書かれていたんですね！
すごくわかりやすいです。ありがとうございます！