Question

Hi（受験生）

the now 26-room inn is nearly always fully booked for several months in advance, proving that with an idea and enthusiasm, a business can become successful anywhere.

訳: 最近では、大抵数カ月前から予約で満室になる。これはアイデアと情熱さえあれば、ビジネスはどんな場所でも成功できるということを証明している。

, proving以降の文構造はどうなっているのでしょうか？

Answer 1

医塾島田| 受験の専門医によるオンライン個別指導塾「医塾」

「, proving …」は 分詞構文（現在分詞句）で、結果を表す用法で、「その結果〜を証明している」という意味合いになります。proving は他動詞 prove の現在分詞形なので、目的語 を取ります。目的語として that から始まる 名詞節 を従えています。that 以下が「何を証明しているのか」を具体的に示しています。
(with an idea and enthusiasm), a business can become successful anywhere
(with + 名詞)はここでは「〜さえあれば」という条件（付帯状況）を表します。核心となる文は a business can become successful anywhere（ビジネスはどこでも成功し得る）です。