Question

いつき

作図より、線分KJの長さ、または、角KOJを求める方法はありますでしょうか？
(各点のラベルの添字は、無視していただくようお願いします)
なお、KJの長さは　√{ (5 - √5) / 2 }, 角度KOJは72°です。

・線分OK＝OJ＝OB=円Oの半径の長さは　1　です
・線分BK＝BJ=円Bの半径の長さは　(√5 - 1) / 2　です
・点Bは、円Oの円周上にあります。

以上になります。この情報から、KJの長さ、または　角KOJを求めていただけるよう、お願いします。

S
R

作図 正五角形

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

mo1

参考・概略です

●三平方の定理の応用として、ＫＪの長さを求める事が出来ます

　二重根号の値になります

　ＫＪ＝{√(10－2√5)}/2＝0.58778525229…

●あとは、18°36°72°等の三角比を覚えているなら

　この場合は、sin18°＝(√5－1)/4　から。

　∠ＫＯＪ＝72　が求められます。

補足
　半径１の円に内接する
　　正十角形の1辺が、(√5－1)/2です

いつき

すみません、

●三平方の定理の応用として、ＫＪの長さを求める事が出来ます
とは、どのような応用をされているのでしょうか。

ご補足をいただけると幸いです。

mo1

●ＫＪとＯＢの交点をＨとします

①△ＯＫＪにおいて
　仮定より、２辺が等しく
　△ＯＫＪは二等辺三角形で
　∠Ｏは二等辺三角形の頂角

②△ＫＢＪと△ＪＢＯにおいて
　仮定より、３組の辺がそれぞれ等しく
　△ＫＢＪ≡△ＪＢＯ
　∠ＫＯＢ＝∠ＪＯＢ

③ＯＢとＫＪにおいて
　①②より、二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直二等分する
　ＯＢ⊥ＫＪ，ＫＪ＝2ＫＨ

④直角三角形ＫＨＢと直角三角形について
　三平方の定理を用いて、ＫＨを2通りで表します
　ＫＨ²＝ＫＢ²ーＢＨ²＝ＫＯ²－ＯＨ²
　　ＫＢ＝(√5－1)/2，ＢＨ＝x，ＫＯ＝1，ＯＨ＝1－x
　{(√5－1)/2}²－{x}²＝{1}²－{1－x}²

⑤方程式を解きます
　　x＝(3－√5)/4

⑥xの値を代入しＫＨを求めます
　　ＫＨ²＝(10－2√5)/16　から
　　ＫＨ＝{√(10－2√5)}/4
　
⑦ＫＪの値を求めます
　　ＫＪ＝2[{√(10－2√5)}/4]
　　　　＝{√(10－2√5)}/2

いつき

mo1さん

大変詳細にご回答いただき、ありがとうございます。
②に関しては、△KBOと△JBOにおいて、と脳内変換させていただきました。
また④のやり方が目から鱗でした。
KHBとKHOは共に二辺が分からないため、三平方の定理を使えないと悩んでいたのですが、
連立させれば、分からない3辺のうち、BHとOHの2辺は1つの未知数でまとめられ、求めることができ、
そのままKHの長さまで求められることに、驚愕しました。

とてもためになりました。ありがとうございます。

mo1

②すみませんでした。脳内変換、有難う御座います
お役に立てたようなら幸いです