Question

カデンツ

中央値は差の絶対値の和を最小にする

ということだけは調べて知りました。
ですがラインを引いている部分の問題の解説がよく分かりません…この解説の解説をお願いしたいです。

nを2以上の自然数とする。 変量 xについての (2n-1) 個のデータ X1,X2,
X2n-1 (X1≦x2...... ≦ x2n-1) がある。
実数 α の関数 f(a), g(α) を
a
S
1
f (a) =
2n-1
{(x1−a)²+(x2−a)²+......+(x2n−1− a)²},
A
g(a)=
1
(|x-a|+|x2-a|+....+|x2-1-αl)
2n-1
で定める。次の に当てはまるものを下の①~⑤のうちから1つずつ選べ。
f (a) を最小にするα は xのデータのであり,そのときの最小値は x の
データのである。更に,g(a)を最小にするa は x のデータの であ
②中央値
る。
①平均値
② 中央値
③ 最頻値
④ 分散
⑤ 標準偏差

g(a)について
iを1≤is2n-1 を満たす自然数とする。
xi≦a≦xit のとき
g(a)
1S
2n-1-(x − a) - (x 2 − a) — ..... — ( x ; — a)
+(xi+1-a)+....+(x2n_1-a)}
[{-2(n-i) +1}a
1
=
2n-1
-(x1+x2+..
-2(n-i)+1
=
-a
2n-1
'+xi-Xi+1-.....-X2x-1)〕
......
x+x+ ・+Xi-Xi+1-
**** — X2n−1
2n-1 ss0-
よって,x;<a<xi+1のとき,g (a) は傾きが
-2(n-i)+1
2n-1
の直線の一部を表す。
SS.0-
ここで,a<xn
すなわちi≤n-1
のとき
-2(n-i)+1 sson
2n-1
xi axi+1
......
xn
1
2n-1
<0
xn <a すなわち
i≧n のとき
-2(n-i)+1
2n-1
1
a
a
xn
・>0
......xi axi+1
2n-1
よって,g(a) は a=x, で最小値をとる。
データの個数は奇数であり,
xmx2......x2n-1 であるから,x, は x のデ
ータの中央値 (2) である。

データの分析