Question

さきち

この証明の問題で考え方に疑問があるので、教えてください。　写真の一枚目は、問題で、二枚目が解答です。なぜ、4点が一つの円上にあることを3点ずつ証明して、4点を一気に証明しないのでしょうか

あるまた
また、BCに
このとき
AAB
4 右の図のように、∠A=∠C=90°である四角形ABCD がある。
このとき, 4点A,B,C,D は 1 つの円周上にあることを証明
しなさい。
B.
C

(証明)
∠A=90°より、∠AはBDを直径とする半円の弧に
対する、円周角と考えることができるので、3点A、B、D
は1つの円周上にある
同様に、3点B.C.Dも1つの円周上にある
よって、4点A.B.C.Dは1つの円周上にある。

Answer 1

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かき

3点なら、三角形が内接する円(=三角形の外接円) が存在する、ということが言えるからです。
だから3点ずつで証明します。

ちなみに、右の下から2行目は、
「B,C,Dは同一円上にあり、BDが直径」
その上のA,B,Dが乗っている円も、BDが直径
だから、この2円は一致する
ゆえに、A,B,C,Dは同一円周上にある

としたほうが良いです。

さきち

ありがとうございます。なぜ四角形の外接円は使わないのですか。中学生は習わないからですか

かき

全ての四角形が外接円を持つ(＝四角形が円に内接する)わけではありません。
対角の和が180°の時のみです。
参考
https://www.nhk.or.jp/kokokoza/suugakua/assets/memo/memo_0000008982.pdf

問題の四角形は、対角の和が180°なので、円に内接するから4点は同一円周上にある、といってもよいと思います。
ただ、これだと、単にそういう条件を使っただけで、証明としては不十分なので、3点ずつやったほうが良いです。

さきち

返信遅くてごめんなさい。ありがとうございます😊
教えて頂きたいのですが、単にそういう条件を使っただけで、証明としては不十分とのことですが、どうして不十分なのでしょうか。リンクもありがとうございます❣️

かき

図を見るだけで、AとCは90°とわかり、∠A+∠C=180°から四角形ABCDは円に内接する、というだけでは不十分ということです。
もう少し、AやCが90°なら何故、円に内接するかの説明が要りそうです、ということです。

さきち

ありがとうございます😊