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結論から言いますと、幕府と薩摩藩は違います！
当時の江戸時代では幕藩体制というものが行われていたのはご存知ですか？これは「幕府」と「藩」が日本各地の土地を治めていたということです。
藩というのは厳密に言うと異なりますが、県のようなものです。薩摩藩は現在の鹿児島県です。
ちなみに幕府と藩ではどちらが偉いのかというと、幕府が偉く、いうならばご主人様です。その次が藩（大名）です。
なので薩摩藩などの藩は、幕府の命令には従わなければならなかったものの、ある程度の自由な統治は許されています。それゆえ薩摩藩はある目的を持って幕府の許可を得てから琉球王国の支配をしています。
ありがとうございます！幕府ではなく幕府に支配されていたのですね💡！