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z³-1=(z-1)(z²+z+1)=0より、
ωはω³=1,ω²+ω+1=0を満たします。
整式P(x),実数a,b,cを用いて次の等式が成り立ちます。
x¹⁰⁰=(x³-1)P(x)+ax²+bx+c
x=1のとき、
1=a+b+c⋯①
x=ωとき、
ω¹⁰⁰=aω²+bω+c
⇔ω･(ω³)³³=aω²+bω+c
⇔ω=aω²+bω+c
ここでω²+ω+1=0⇔ω²=-ω-1であるから、
ω=-a(ω+1)+bω+c
⇔(b-a-1)ω+c-a=0
b-a-1=0かつc-a=0
即ち
b-a-=1かつc=a⋯②
①,②より、
a=c=0,b=1
よって余りはx
