Question

Komaru

この問題ってmod使えたりしますか？
二項定理で解くしかないんですかね？

° 68 (1) 2110 400で割ったときの余りを求めよ。
(2) 19+21”が400で割り切れるような正の整数nが存在するか。 存在するなら
ば,その例を示せ。 存在しなければ,それを証明せよ。
[類 14 中央大〕

Answer 1

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mi-

使えないことはないですよ！
もしmodでやるなら19の余りと21の余りの周期を見つければうまくいきそうです。ただそのまま400のあまりで周期を見つけようとすると大変になりそうなので400=2^4×5^2として、16と25のあまりで考えていくのが良いでしょう。(つまり400で割れるためには16、25で割り切れなければならない。)

(20-1)^n+(20+1)^nを用いての二項定理が楽そうな気はします。考えるべき項は後ろの二項だけで済むのでnC1(20)×1^(n-1)+nCn1^n
そう考えると打ち消し合うことはなさそうなので存在しなさそうですね。間違ってたらすみません。

Komaru

ご丁寧にありがとうございます😭