Question

デブ勉

これってn=k+1の時にまる2の左辺を作って13mを代入する方法でできないのですか？

500
基本 例 56 整数の性質の証明
解答
0000
すべての自然数nについて, 42n+1 +37+2は13の倍数であることを証明せよ。
このような自然数nに関する命題では, 数学的帰納法が有効である。
n=kの仮定n=k+1の証明の過程においては,
Nがの倍数⇔N=mm は整数)
を利用して進めることがカギとなる。 すなわち
42k+1+3k+2=13m (m は整数) とおいて
-n=kの仮定
←
42(+1) +1 +3(火+1) +2 が 13×(整数) の形に表されることを示す。
←
基本55
n=k+1の証明
このように,数学的帰納法の問題では,n=k+1の場合に示すべきものをはっきりっ
かんでおく・
★ことが大切である。
「42+1+3+2は13の倍数である」 を①とする。
42-1+1+31+2=64+27=91=13・7
よって、 ①は成り立つ。
[1] n=1のとき
②
これから
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると
42k+1+3k+2=13m (m は整数)
とおける
n=k+1のときを考えると,② から
42k+1=13m-3+2
42(k+1)+1+3(k+1)+2=42.42k+1+3k+3
=16(13m-3k+2)+3k+3
=13.16m-(16-3).3k+2
=13(16m-3+2)
16m-3k+2 は整数であるから, 42 (k+1)+1 +3(k+1)
+2は13
の倍数である。
S
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
(+
指針」の方
仮定 ② が使えるよう
42 +1 の形を作り出すこ
とがカギ。
の断りを忘れずに、
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 結論を書くこと。
別解 1. 二項定理を利用
42n+1+3n+2=4・42n+32・3"=4・16"+9.3"=4(13+3)"+9.?

Answer 1

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和

②の左辺の形そのものをつくれさえすれば
そりゃそのまま代入しますけど、
そのものをつくれなさそうだから
②を変形して4²ᵏ⁺¹を代入するなどコツコツ式変形しています