Question

sssyyy

(2)θの範囲を出すときなのですが、なぜ2αではなく2nπを足すのですか？

■1複素数zが|z|≦1 を満たすとする。w=z-√2 で表される複素数wに
ついて,次の問いに答えよ。
(1) 複素数平面上で,点wはどのような図形を描くか。図示せよ。
(2) w2 の絶対値を r, 偏角を0とするとき,rと0の範囲をそれぞれ求め
よ。 ただし, 0≦02 とする。
[類 東京学芸大] 110

(1)w=z-√2 から
z=w+√√2
|z|≦1 に代入すると
w+√2≦1
1
ゆえに、点は点-√2 を中心とす
る半径1の円周およびその内部を描
く。
-√2
0
x
-1
よって, 点wの描く図形は,右図の
単位
斜線部分のようになる。
ただし,境界線を含む。
(WA
-√2
もの。
(2)w=R(cosa+isina)
VA
(R>0,0≦x<2π) とする。
-√2-1
1
また,右図のように, 3点A, B, C
をとる。
-√2
10x
右図から, |w|=Rは
C
-1
w=-√2-1で最大,
w=-√2+1 で最小となり,
-√2+1
8+(8
よ表
&

w=-√2-1のとき
R=|-√2-1|=√2+1
w=-√2+1 のとき
ゆえに
R=|-√2+1|=√2-1
√2-1≦|w|≦√2 +1
OA=√2,AB=1,∠ABO= πT から
π
∠AOB=
4
斜辺と
角形。
√2-1≦R≦√2+1. ①
同様にして
π
∠AOC=
4
以上から
3
4
5
―π
②
*S*
4
w²=R2(cosa+isina)=R2(cos2a+isin2a) であるから
r=|w2|=R2,0=argw²=2+2n (nは整数)
(√2-12R'S(√2+1)2
3-2√2 ≦r≦3+2√2
①から
すなわち
3
5
次に,②から
2.+2nx≦2a+2n≦2x+2nπ
4
4
0≦0<2m で考えるから n=-1としてst
3
5
n=0 として
2
TSOS T
2π
0≦0<2πとの共通範囲は 0≤0≤ x ≤0<2π
3
2